Méthode 1 : Déterminer une matrice de passage

a) Matrice de passage

Définition :

Soit $E$ un ${\Bbb K}$-ev de dimension finie $n$.
Soient ${\mathcal B}$ et ${\mathcal B}'$ des bases de $E$.
La matrice de passage de ${\mathcal B}$ é ${\mathcal B}'$, notée $P_{{\mathcal B} \rightarrow {\mathcal B}'}$, est la matrice de $M_n({\Bbb K})$ dont les colonnes sont formées des coordonnées des vecteurs de ${\mathcal B}'$ dans la base ${\mathcal B}$.

Autrement dit, si on note ${\mathcal B}=(e_1,\ldots,e_n)$ et ${\mathcal B}'=(e_1',\ldots,e_n')$ et si pour tout $j \in \{1,\ldots,n\}$, $\displaystyle{e_j' = \sum_{i=1}^{n}a_{i,j}e_i}$

alors :

$\scriptstyle \begin{array}{cccl}
      P_{{\mathcal B} \rightarrow {\mathcal B}'} & = &
      \left(\begin{array}{ccccc}
        a_{1,1} & \ldots & a_{1,j} & \ldots & a_{1,n}\\
         & & & & \\
        \vdots & & & & \vdots\\
        & & & & \\
        a_{n,1} & \ldots & a_{n,j} & \ldots & a_{n,n}\\
      \end{array}\right)
& \begin{array}{l}
        e_1 \\
        \\
        \\
        \\
        e_n\\
      \end{array}\\
&& \left.\begin{array}{ccccc}
        \uparrow \hspace{0.6cm}& & \uparrow &
        & \hspace{0.5cm}\uparrow\\
        e_1' \hspace{0.5cm}& & e_j' & &\hspace{0.6cm} e_p'\\
      \end{array}\right. & \\
    \end{array}$

Exemple : Dans $E={\Bbb R}^2$, on considère la base canonique ${\mathcal B}=(f_1,_2)$ et la base ${\mathcal B}'=(v_1,v_2)$ définie par $v_1=(1,3)$ et $v_2=(1,-1)$.

La matrice de passage de ${\mathcal B}$ à ${\mathcal B}'$ est la matrice de $M_2({\Bbb R})$ : 

$P_{{\mathcal B} \rightarrow {\mathcal B}'}=\left(
  \begin{array}{rr}
     1 & 1 \\
     3 & -1
  \end{array}
\right)$.

b) Formule de changement de base 

Soit $E$ un ${\Bbb K}$-espace vectoriel de dimension finie muni de deux bases ${\mathcal B}$ et ${\mathcal B'}$. 

$\begin{array}{ccc}
    E & \stackrel{f}{\longrightarrow} & E \\
    {\mathcal B} & & {\mathcal B} \\
    {\mathcal B}' & & {\mathcal B}'
  \end{array}$

On note $A={\rm Mat}_{{\mathcal B}}(f)$, $A'={\rm Mat}_{{\mathcal B}'}(f)$ et $P=P_{{\mathcal B} \rightarrow {\mathcal B}'}$. Alors $A'=P^{-1}AP$.

Méthode 2 : Calcul de la trace d’une matrice carrée

Définition :

Soit la matrice $\rm A=(a_{i,j})\in M_n(\mathbb K)$.

La trace vaut : $\rm tr(A)=a_{1,1}+…+a_{n,n}$.

  • Produit de matrices :

Pour toute matrice $\rm A\in M_{n,p}(\mathbb K)$, pour toute matrice $\rm B\in M_{p,n}(\mathbb K)$ : $\rm tr(AB)=tr(BA)$.

  • Matrices semblables :

Deux matrices semblables ont la même trace.

Remarque :

$\rm A\in M_n(\mathbb K)$ est semblable à $\rm B\in M_n(\mathbb K)$ s’il existe $\rm P\in GL_n(\mathbb K)$ (groupe général linéaire = ensemble des matrices carrées réversibles d’ordre $\rm n$) telle que $\rm B = P^{-1}AP$.

Méthode 3 : Calcul du déterminant d’une matrice carrée $\bf{A =(a_{i,j}})$

    • Déterminant d’ordre $2$ :

    $$\rm \left|\begin{array}{ll}\rm a & \rm b\\ \rm c & \rm d\end{array}\right|= ad-bc$$

    • Déterminant d’ordre $3$ : règle de Sarrus.
    • Déterminant par développement suivant une ligne ou une colonne, par exemple suivant la ligne $\rm i$ :

$$\rm \det(A)=\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{i,j}(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})$$
Où $\rm A_{i,j}$ est la matrice obtenue à partir de $\rm A$ en enlevant la $\rm i^{ème}$ ligne et la $\rm j^{ème}$ colonne.

  • Matrice triangulaire supérieure :

Le déterminant est égal au produit des coefficients de la diagonale.

  • Transposée de matrices :

$$\rm \det(^tA)=\det(A)$$

  • Produit de matrices :

$$\rm \det(AB)=\det(A)\det(B) \text{ et}\det(\lambda A)=\lambda^n \det(A)$$

  • Matrices semblables :

Deux matrices semblables ont même déterminant.

Méthode 4 : Inverser une matrice

  • Matrice inversible :

$\rm A$ est inversible si et seulement si $\rm \det(A)\neq 0$. Dans ce cas $\displaystyle \rm \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$

    • Si $\rm A$ est inversible, $\rm ^{-1}=\displaystyle\frac{1}{\det(A)}^t(Com(A))$.