1) Compléments sur les variables aléatoires à densité
Définition :
Soit $\rm X$ variable aléatoire réelle.
Sous réserve d’existence, le moment d’ordre $r$ avec $r\in\mathbb N^*$ est : $m_r(\mathrm X)=\mathrm{E(X}^r)$
Définition :
Soit $\rm X$ variable aléatoire réelle.
$\rm X$ est centrée si $\rm X$ admet une espérance et $\rm E(X)=0$.
$\rm X$ est centrée réduite si $\rm X$ admet un moment d’ordre $2$ et $\rm E(X)=0$ et $\rm V(X)=1$.
Théorème :
Si $\rm X$ admet un moment d’ordre $2$, $\rm X*=\dfrac{X-E(X)}{\sqrt{V(X)}}$ est centrée réduite.
Théorème de transfert :
Si $\rm X$ est une variable aléatoire admettant une densité $f$ nulle en dehors d’un intervalle $]a,b[$ $(-\infty \leq a < b\leq+\infty)$ et si $g$ est une fonction continue sauf éventuellement en un nombre fini de points sur $]a,b[$, $g(\rm X)$ admet une espérance si et seulement si l’intégrale $\displaystyle \int_a^b g(t)f(t)\mathrm dt$ converge absolument et dans ce cas $\mathrm E(g(\mathrm X))= \displaystyle \int_a^b g(t)f(t)\mathrm dt$.
Définition : Loi Gamma
Soit $\rm X$ une variable aléatoire réelle et $\nu>0$.
On dit que $\rm X$ suit une loi $\gamma$ de paramètre $\nu$ ($\rm X\sim \gamma (\nu)$) si elle admet comme densité la fonction :
$f_{\rm X}(x)=\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^{\nu-1}}{\Gamma(\nu)}\mathrm e^{-x} \text{ si } x>0\\ 0\text{ sinon }\end{array}\right.$
Avec $\displaystyle\Gamma(\nu)=\int_0^{+\infty}t^{\nu-1}\mathrm e^{-t}\mathrm dt$.
Propriétés :
Si $\rm X$ suit une loi $\gamma$ de paramètre $\nu$, $\rm E(X)=\nu$ et $\rm V(X)=\nu$
2) Couples de variables aléatoires réelles à densité
Définition :
Soient $\rm X$ et $\rm Y$ deux variables aléatoires réelles à densité définies sur $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$.
Les variables $\rm X$ et $\rm Y$ sont indépendantes si :
- Pour tous $\rm A\subset X(\Omega)$ et $\rm B\subset Y(\Omega)$, les événements $\rm (X\in A)$ et $\rm (Y\in B)$ sont indépendants.
Ou de façon équivalente :
- Pour tout $(x,y)\in \rm X(\Omega)\times Y(\Omega)$, $\mathrm{P(X}\leq x,\mathrm Y\leq y)$ $=\mathrm{P(X} \leq x)\mathrm{P(Y}\leq y)$.
Définition :
Soit la variable aléatoire somme $\rm Z = X + Y$ avec $\rm X,Y$ deux variables aléatoires à densité (de densité $f_{\rm X}$ et $f_{\rm Y}$) indépendantes.
Soit $h$ définie par $\displaystyle h(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{\rm X}(t)f_{\rm Y}(x-t)\mathrm dt$
Si la fonction $h$ est définie et continue sauf peut-être en un nombre fini de points, $h$ est une densité de $\rm Z$.
$h$ est le produit de convolution de $f_{\rm X}$ et $f_{\rm Y}$: $f\star f_{\rm Y}$.
Propriété :
Soit $\rm X$ et $\rm Y$ deux variables aléatoires à densité indépendantes admettant une espérance.
Si $\rm X$ et $\rm Y$ sont indépendantes, $\rm XY$ admet une espérance et $\rm E(XY)=E(X)E(Y)$.
Théorème :
- Si $\rm X_1$ et $\rm X_2$ sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois $\gamma(\nu_1)$et $\gamma(\nu_2)$ alors $\rm X_1 + X_2$
suit une loi $\gamma(\nu_1+\nu_2)$.
- Si $\rm X_1$ et $\rm X_2$ sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois $\mathcal{N}(m_1,\sigma_1^2)$ et $\mathcal{N}(m_2,\sigma_2^2)$
alors $\rm X_1 + X_2$ suit une loi $\mathcal{N}(m_1+m_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$.
3) Suite de variables aléatoires réelles
Définitions :
Soient $\mathrm X_1, \ldots, \mathrm X_n$ des variables aléatoires réelles.
Les variables $\mathrm X_1, \ldots, \mathrm X_n$ sont mutuellement indépendantes si :
Pour tout choix de $n$ intervalles réels $\mathrm I_1, \ldots, \mathrm I_n$, les événements $(\mathrm X_1\in \mathrm I_1),\ldots ,(\mathrm X_n\in \mathrm I_n)$ sont mutuellement indépendants.
Les variables aléatoires de la suite $(\mathrm X_n)_{n\in \mathbb N*}$ sont dites mutuellement indépendantes si, pour tout entier $n > 1$, les variables aléatoires $\mathrm X_1, \ldots, \mathrm X_n$ sont mutuellement indépendantes.
Lemme des coalitions :
Si $\mathrm X_1, \mathrm X_2 , \ldots, \mathrm X_n$, sont mutuellement indépendantes, toute variable aléatoire fonction de $\mathrm X_1, \mathrm X_2, \ldots, \mathrm X_p$ est indépendante de toute variable aléatoire fonction de $\mathrm X_{p+1}, \mathrm X_{p+2}, \ldots, \mathrm X_n$.
Propriétés :
- Si $\mathrm X_1, \mathrm X_2 , \ldots, \mathrm X_n$ sont mutuellement indépendantes et admettent toutes une espérance, alors le produit $\mathrm X_1 \ldots \mathrm X_n$ admet aussi une espérance et $\mathrm{E(X}_1 \ldots \mathrm X_n)$ $= \mathrm{E(X}_1)\times \ldots \times \mathrm{E(X}_n)$
- Si $\mathrm X_1, \mathrm X_2 , \ldots, \mathrm X_n$ sont indépendantes deux à deux et admettent toutes une variance, alors la somme $\mathrm X_1+ \ldots + \mathrm X_n$ admet aussi une variance et $\mathrm {V(X}_1+ \ldots + \mathrm X_n)$ $= \mathrm{V(X}_1)+ \ldots +\mathrm{V(X}_n)$.
Théorèmes :
La somme de $n$ variables aléatoires de Bernoulli mutuellement indépendantes et de même espérance $p$ suit la loi binomiale $\mathrm B(n,p)$.
Théorèmes :
- Soit $\mathrm X_1, \mathrm X_2 , \ldots , \mathrm X_n$ des variables aléatoires suivant des lois binomiales de paramètres respectifs $(m_1,p) \ldots (m_n,p)$
Si $\mathrm X_1, \mathrm X_2 , \ldots, \mathrm X_n$ sont mutuellement indépendantes, la variable somme $\mathrm X_1+ \ldots + \mathrm X_n$ suit une loi binomiale de paramètre $(m_1+ \ldots +m_n,p)$.
- Soit $\mathrm X_1, \mathrm X_2 , \ldots, \mathrm X_n$ des variables aléatoires suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs $\lambda_1, \ldots ,\lambda_n$.
Si $\mathrm X_1, \mathrm X_2 , \ldots , \mathrm X_n$ sont mutuellement indépendantes, la variable somme $\mathrm X_1+ \ldots +\mathrm X_n$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda_1+ \ldots +\lambda_n$.
Retour
