Compléments sur les fonctions réelles

Méthode 1 : Développements limités

Un développement limité d'une fonction $f$ est une approximation locale (c'est-à-dire au voisinage d'un point) de $f$ par une fonction polynomiale. Plus précisément, on a la définition suivante :

1) Définition et remarques :

Soit $V$ un voisinage de $0$ (autrement dit un intervalle du type $]-\alpha,\alpha[$ avec $\alpha>0$).

Soit $f$ une fonction définie sur $D=V$ ou $D=V \backslash\{0\}$. 

Soit $n$ un entier naturel. 

$f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $0$ (en abrégé $DL_n(0)$) s'il existe une fonction polynomiale $x \mapsto a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ de degré inférieur ou égal à $n$ et une fonction $\epsilon$ définie sur $D$ telles que

• $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\epsilon(x)=0$
• $\forall x \in D$, $f(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n+\epsilon(x)x^n$.

Remarques :

La fonction $f$ n'est pas forcément définie au point où elle admet un développement limité.

• Lorsqu'une fonction admet un développement limité à un ordre donné, ce développement est unique.
• La quantité $\epsilon(x)x^n$ (qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $0$) représente l'erreur d'approximation lorsqu'on confond $f$ et son approximation polynomiale .
• L'erreur d'approximation $\epsilon(x)x^n$ est négligeable devant $x^n$ car $\displaystyle{\frac{\epsilon(x)x^n}{x^n}= \epsilon(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0}$ ce que l'on écrit par $\epsilon(x)x^n \stackrel{x \rightarrow 0}{=} o(x^n)$. Ainsi le $DL_n(0)$ de $f$ s'écrit également $f(x)\stackrel{x \rightarrow 0}{=}a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n+o(x^n).$

2) DL de référence au voisinage de 0

A apprendre par cœur : 

$e^x=1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2 !}+o(x^2)$
$\ln(1+x)=x-\displaystyle\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\displaystyle\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !}x^2 +o(x^2)$

3) Développement limité en dehors de l'origine

Méthode : développer en dehors de zéro

Pour calculer le $DL_n(x_0)$ de $f$ :

• On effectue le changement de variable $h=x-x_0$. 
• On réécrit $f$ en fonction de la nouvelle variable $h$: $f(x) = f(x_0+h)$.
• On calcule le $DL_n(0)$ de $g:h \mapsto f(h+x_0)$.

4) Formule de Taylor-Young

Théorème. Soit $n \in {\Bbb N}$. Soit $f$ une fonction de classe $C^n$ au voisinage de $x_0$. Alors $f$ admet un $DL_n(x_0)$ donné par la formule : 

$\displaystyle{f(x_0+h) \stackrel{h \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k + o(h^n) }$

$\displaystyle{\stackrel{h \rightarrow 0}{=} f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}h^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} h^n + o(h^n)}$ ou encore si on revient à la variable originelle $x=x_0+h$ :

$\displaystyle{f(x) \stackrel{x \rightarrow x_0}{=} \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + o((x-x_0)^n)}$

$\displaystyle{\stackrel{x \rightarrow x_0}{=} f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)}$.

Méthode 2 : Compléments sur l’intégration 

Théorème :

Soit $f :\rm I\to\mathbb R$ continue par morceaux et positive.

Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

• $\int_\mathrm I f$ converge
• Il existe $\rm M\in\mathbb R$, tel que pour tout $\rm [\alpha,\beta]\subset I$, $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f \leq \rm M$

Théorème :

Soient $f : \rm I \to \mathbb R$ et $g : \rm I \to \mathbb {R^+}$ continues par morceaux.

Si pour tout $\rm t \in I$, $|f(\mathrm t)|\leq g(\mathrm t)$ avec $g$ intégrable alors $f$ est intégrable.

Théorème de comparaison asymptotique :

Soient $f :\rm [a~ ;b[\to \mathbb R$ et $g :\rm [a~ ;b[\to \mathbb R$ continues par morceaux avec $\rm a\in\mathbb R$ et $\rm b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$.

Si $f\mathrm{(t)\underset{t\to b^-}=O}(g(\rm t))$ et si $g$ intégrable alors $f$ intégrable.

Soient $f,g :\rm [a~ ;b[\to\mathbb R^+$ continues par morceaux.

Si $f\mathrm{(t)\underset{t\to b^-}\sim} g(\rm t)$ alors $\int_{\rm [a ~;~b[}f$ et $\int_{\rm [a ~;~b[}g$ ont même nature.