Méthode 1 : Comparaison des suites réelles
Définition :
$(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ et on note $u_n = {\rm o}(v_n)$ si $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{u_n}{v_n} =0}$.
Définition :
$(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ et on note $u_n \sim v_n$ si $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{u_n}{v_n} =1}$.
Equivalent de référence : si $(a_n)$ est suite qui CV vers $0$ alors $\ln(1+a_n) \sim a_n$, $\sin(a_n) \sim a_n$, $1- \cos(a_n) \sim \frac{a_n^2}{2}$, $e^{a_n} -1 \sim a_n$, $\tan(a_n) \sim a_n$, $(1+a_n)^{\alpha}-1 \sim \alpha a_n$.
Théorème :
Si $u_n = v_n + \alpha_n + \beta_n + \ldots + \gamma_n$ et si les suites $(\alpha_n)$, $(\beta_n)$, $\ldots$, $(\gamma_n)$ sont négligeables devant $v_n$ alors $u_n \sim v_n$.
Echelle de comparaison : les suites logarithmiques $(\ln^{\gamma})$ avec $\gamma>0$ sont négligeables devant les suites puissances $(n^{\alpha})$ avec $\alpha>0$. $n^{\alpha}$ est négligeable devant $n^{\beta}$ dès que $0< \alpha < \beta$.
Les suites puissances sont négligeables devant les suites géométriques $k^n$ avec $k>1$.
Et $(k')^n$ est négligeable devant $k^n$ si $1<k'<k$.
Les suites géométriques sont négligeables devant $n!$ qui est elle-même négligeable devant $n^n$.
Méthode 2 : Etudier une suite récurrente.
Il s'agit d'une suite définie par un premier terme $u_0$ puis par la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$.
Dans le plan d'étude qui suit, certains points se font simultanément et pas forcément dans l'ordre indiqué.
- Commencer par vérifier que la suite $(u_n)$ est bien définie. On détermine l'ensemble de définition $D$ de $f$. On prouve par récurrence $\forall n \in {\Bbb N}$, $u_n\in D$.
- Déterminer des intervalles stables par $f$ c'est-à-dire des intervalles $I$ vérifiant $\forall x \in I$, $f(x) \in I$. (Cela demande éventuellement de faire une étude de la fonction $f$).
Si $I$ est un intervalle stable et si $u_0 \in I$ alors $\forall n \in {\Bbb N}$, $u_n \in I$ (récurrence immédiate).
- Etudier la fonction $f$ et le signe de $\delta(x) = f(x)-x$ sur l'intervalle $I$ déterminé précédemment. Pour déterminer le signe de $\delta$, on est amené éventuellement à faire une étude de la fonction $\delta$.
- Faire le graphe de $f$ en tenant compte du signe de $\delta$ qui donne la position de la courbe $y=f(x)$ et de la première bissectrice c'est-à-dire la droite d'équation $y=x$. Représenter les premiers termes de la suite $(u_n)$ (on s'aide de la première bissectrice pour reporter les $u_n$ sur l'axe des abscisses) et émettre des conjectures quant à son sens de variation et sa nature (c'est-à-dire sa convergence ou sa divergence).
Si $u_0$ n'est pas fixé, il faut éventuellement faire des cas selon la position de $u_0$.
- On prouve les conjectures. On se base sur trois théorèmes :
Théorème :
Si $f$ est croissante sur $J$ (un sous-intervalle de $I$) et si la suite $(u_n)$ est dans $J$ alors le sens de variation de $(u_n)$ est donné par le signe de $u_1-u_0$.
(Pour prouver que la suite $(u_n)$ est dans $J$ faire une récurrence).
Théorème :
Si $f$ est continue sur $I$ et si $(u_n)$ converge alors $(u_n)$ converge nécessairement vers un point fixe de $f$ c'est-à-dire une solution de l'équation $f(x)=x$ ou $\delta(x)=0$.
Théorème de la limite monotone :
- si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors $(u_n)$ converge.
- si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors $(u_n)$ converge.
- si la suite $(u_n)$ est croissante et non majorée alors $(u_n)$ diverge vers $+\infty$
- si la suite $(u_n)$ est décroissante et non minorée alors $(u_n)$ diverge vers $-\infty$
Remarques :
- Dans le cas où $f$ est décroissante, on ne peut rien dire sur le sens de variations de la suite $(u_n)$. Il faut parfois étudier les sous-suites d'indices pairs et d'indices impairs.
- Parfois on utilise le fait que $f$ est $k$-lipschitzienne c'est-à-dire vérifie $|f(x) -f(y)| \le k|x-y|$.
En remplaçant $x$ par $u_n$ et $y$ par un point fixe $a$ de $f$ : $|f(u_n) -f(a)| \le k|u_n-a|$ soit $|u_{n+1}-a| \le k|u_n-a|$ ce qui donne par récurrence $|u_n-a| \le k^n|u_0-a|$. Si la constante $k$ est $<1$, on peut alors conclure sur la convergence de la suite $(u_n)$ vers $a$.
