1) Complément sur les variables aléatoires quelconques

Lemme des coalitions :

Si $X_1, X_2 ,..., X_n$, sont mutuellement indépendantes, toute variable aléatoire fonction de $X_1, X_2, ..., X_p$ est indépendante de toute variable aléatoire fonction de $X_{p+1}, X_{p+2},..., X_n$.

Propriétés :

  • Si $X_1, X_2 ,..., X_n$ admettent toutes une espérance, alors la somme $X_1+…+X_n$ admet aussi une espérance et $E(X_1+…+X_n)=E(X_1)+ …+ E(X_n)$
  • Si $X_1, X_2 ,..., X_n$ sont mutuellement indépendantes et admettent toutes une espérance, alors le produit $X_1…X_n$
    admet aussi une espérance et $E(X_1…X_n)=E(X_1)\times …\times E(X_n)$
  • Si $X_1, X_2 ,..., X_n$ sont indépendantes deux à deux et admettent toutes une variance, alors la somme $X_1+…+X_n$ admet aussi une variance et $V(X_1+…+X_n)=V(X_1)+…+V(X_n)$.

2) Compléments sur les variables aléatoires à densité

Théorème :

Si $f$ est une densité de probabilité, $F :x\mapsto
\int_{-\infty}^xf(t)dt$ est de classe $C^1$ en tout point où $f$ est continue.

Théorème :

Si $X$ suit une loi uniforme $\mathcal U[0,1]$ et si $a<b$, alors $Y = a + (b−a)X$ suit une loi uniforme $\mathcal U[a,b]$.

Théorème :

Si $X$ suit une loi normale $\mathcal N(m,\sigma^2)$ et si $a\neq 0$, alors $Y = aX+b$ suit une loi normale $\mathcal
N(am+b,a^2\sigma^2)$.

Théorème :

Si $X_1$ et $X_2$ sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois $\mathcal{N}(m_1,\sigma_1^2)$ et $\mathcal{N}(m_2,\sigma_2^2)$ alors $X_1 + X_2$ suit une loi $\mathcal{N}(m_1+m_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$.

Définition :

Soit $X$ variable aléatoire réelle.

Sous réserve d’existence, le moment d’ordre $r$ avec $r\in\mathbb N^*$ est : $m_r(X)=E(X^r)$

Définition :

Soit $X$ variable aléatoire réelle.

$X$ est centrée si $X$ admet une espérance et $E(X)=0$.

$X$ est centrée réduite si $X$ admet un moment d’ordre 2 et $E(X)=0$ et $V(X)=1$.

Théorème :

Si $X$ admet un moment d’ordre 2, $X*=\frac{X-E(X)}{\sqrt{V(X)}}$ est centrée réduite.

Théorème de transfert :

Si $X$ est une variable aléatoire admettant une densité $f$ nulle en dehors d’un intervalle $]a,b[$ ($-\infty\leq a<b\leq
+\infty$) et si $g$ est une fonction continue sauf éventuellement en un nombre fini de points sur $]a,b[$, $g(X) $ admet une espérance si et seulement si l’intégrale $\int_a^b g(t)f(t)dt$ converge absolument et dans ce cas $E(g(X))= \int_a^b
g(t)f(t)dt$.