Fonctions numériques de deux variables réelles

1) Fonctions réelles de 2 variables

Exemple : $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ définie par $f(x,y)=xy-x^2y^4$.

Définition :

Une fonction $f$, définie sur $\mathbb R^2$, est continue au point $(x_0,y_0)$ de $\mathbb R^2$ si : $\forall \epsilon>0$, il existe $\alpha>0$ , $\forall (x,y)\in\mathbb R^2$, $d((x,y),(x_0,y_0))<\alpha$ $\Rightarrow |f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\epsilon$
Avec $d$ la distance euclidienne sur $\mathbb R^2$.
$f$ est continue sur $\mathbb R^2$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $\mathbb R^2$. 

Exemple : Les fonctions polynômiales de deux variables réelles sont continues sur $\mathbb R^2$.

Théorème :

La somme de fonctions continues sur $\mathbb R^2$ est une fonction continue sur $\mathbb R^2$ .
Le produit de fonctions continues sur $\mathbb R^2$ est une fonction continue sur $\mathbb R^2$ .
Le quotient de fonctions continues sur $\mathbb R^2$, si la fonction au dénominateur ne s’annule pas, est une fonction continue sur $\mathbb R^2$.

Théorème :

La composée d’une fonction continue à valeurs dans un intervalle $I$ de $\mathbb R$ par une fonction continue sur $I$ à valeurs dans $\mathbb R$ est continue.

2) Calcul différentiel

Définition :

Soit $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ et soit $a=(a_1,a_2)\in\mathbb R^2$.
La $\rm i_{ème}$ dérivée partielle d’ordre 1 (i=1 ou 2) de $f$ est la dérivée de $f$ par rapport à la i-ème variable et se note $\partial_if(a)$.

Définition :

Soit $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ admettant des dérivées partielles et soit $a=(a_1,a_2)\in\mathbb R^2$.
Le gradient de $f$ en $a$ est le vecteur :

$$\nabla f (a_1,a_2)=(\partial_1f(a_1,a_2),\partial_2 f(a_1,a_2))$$

Définition :

Soit $f : \mathbb R^2\to \mathbb R$.
$f$ est de classe $\rm C^1$ si ses dérivées partielles d'ordre $\rm 1$ existent et sont continues.
Une fonction de classe $C^1$ est continue.

Théorème :

Soient $f,g : \mathbb R^2\to \mathbb R$ et $\alpha,\beta\in\mathbb R$.

Si $f$ et $g$ sont de classe $\rm C^1$, $\alpha f + \beta g$, $fg$ et $\frac{f}{g}$ (si $g$ ne s’annule pas sur $\mathbb R^2$) sont de classe $\rm C^1$.

Définition :

On appelle dérivées partielles d’ordre 2 de $f$ les dérivées partielles des dérivées partielles d’ordre 1 de $f$.
On note $\nabla^2(f)(x,y)$ la matrice hessienne de $f$ au point $(x,y)$: $\nabla^2(f)=\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$.

Définition :

Soit $f : \mathbb R^2\to \mathbb R$.
$f$ est de classe $\rm C^2$ si ses dérivées partielles d'ordre $\rm 2$ existent et sont continues.
Une fonction de classe $C^2$ est de classe $C^1$.

Théorème :

Soient $f,g : \mathbb R^2\to \mathbb R$ et $\alpha,\beta\in\mathbb R$.

Si $f$ et $g$ sont de classe $\rm C^2$, $\alpha f + \beta g$ est de classe $\rm C^2$.

Théorème :

Soit $f : \Omega\subset \rm \mathbb R^2 \to \mathbb R$.

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• $f$ est de classe $\rm C^2$
• Les fonctions coordonnées de $f$ dans une base de $\rm \mathbb R$ sont de classe $\rm C^2$

Théorème de Schwarz :

Soit $f : \mathbb R^2 \to \rm \mathbb R$.
Si $f$ est de classe $\rm C^2$, pour tous $(x,y)\in\mathbb R^2$,
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x_\mathrm 1 \partial x_\mathrm 2}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_\mathrm 2\partial x_\rm 1}$

3) Recherche d’extrema

Soit $\Omega\subset \rm \mathbb R^2$.

Théorème :

Une fonction continue sur une partie fermée bornée de $\mathbb R^2$ admet un maximum global et un minimum global.

Théorème :

Soit $f : \Omega\subset \rm \mathbb R^2 \to \mathbb R$ de classe $C^1$.
Si $f$ admet un extremum local en $\rm (x_0,y_0)\in\Omega$ alors $\nabla(f)(x_0,y_0)=0$, donc $(x_0,y_0)$ est un point critique de $f$. 

Remarque :

Soit $f : \Omega\subset \mathbb R^2 \to \mathbb R$.
$f$ admet un minimum local en $\rm (x_0,y_0)\in\Omega$ s'il existe $\alpha>0$, tel que pour tout $(x,y)\in \Omega \cap \rm B((x_0,y_0),\alpha)$, $f(x,y)\geq f( x_0,y_0)$.

Théorème :

Soit $f : \Omega\subset \rm \mathbb R^2 \to \mathbb R$ de classe $C^2$.
Si $(x_0,y_0)$ est un point critique de $f$ : 

• si les valeurs propres de la matrice hessienne au point $(x_0,y_0)$ sont strictement positives, alors $f$ admet un minimum local en $x_0$
• si les valeurs propres de la matrice hessienne au point $(x_0,y_0)$ sont strictement négatives, alors $f$ admet un maximum local en $x_0$

Définition :

Si $(x_0,y_0)\in \Omega$ est un point critique pour $f$ et si les valeurs propres de la matrice hessienne de $f$ au point $(x_0,y_0)$ sont non nulles et de signes opposés, alors $f$ n’admet pas d’extremum local en $(x_0,y_0)$ et $(x_0,y_0)$ est un point col ou point selle pour $f$.