Fonctions réelles définies sur ℝⁿ

Soit $\Omega\subset \rm \mathbb R^n$.

1) Fonctions réelles de $n$ variables

Définition :

Une fonction $f$ définie sur $\Omega \subset \rm \mathbb R^n$ à valeurs dans $\mathbb R$ par $(x_1, \ldots, x_{\rm n}) \to f(x_1, \ldots, x_{\rm n})$ est une fonction à $\rm n$ variables.

Exemple : $f:\mathbb R^3\to \mathbb R$ définie par $f(x,y,z)=xy+x^2z-yz^3$.

Définition :

Une fonction $f$, définie sur $\rm \mathbb R^n$, est continue au point $x_0$ de $\rm \mathbb R^n$ si : $\forall \epsilon>0$, il existe $\alpha>0$ , $\forall x\in\mathbb R^n$, $||x-x_0||\leq\alpha$ $\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\leq\epsilon$.
$f$ est continue sur $\rm \mathbb R^n$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $\rm \mathbb R^n$.

Exemple : Les fonctions polynômiales de $\rm n$ variables sont continues sur $\rm \mathbb R^n$.

Théorème :

La somme de fonctions continues sur $\mathbb R^n$ est une fonction continue sur $\mathbb R^n$.
Le produit de fonctions continues sur $\mathbb R^n$ est une fonction continue sur $\mathbb R^n$.
Le quotient de fonctions continues sur $\mathbb R^n$, si la fonction au dénominateur ne s’annule pas, est une fonction continue sur $\mathbb R^n$.

2) Calcul différentiel

Définition :

Soit $f : \rm \mathbb R^n \to \mathbb R$ et soit $\rm a=(a_1,\ldots ,a_n)\in\mathbb R^n$.
$f$ admet une i_ème dérivée partielle d’ordre $1$ si $\displaystyle\lim_{h\to 0}\scriptstyle\frac{f\rm(a_1, \ldots, a_{i-1}, a_i + \mathcal h, a_{ i+1},\ldots,{a_n})-\mathcal f(\rm a_1, \ldots, a_n)}{h}$ existe.
Cette limite se note $\partial_{\rm i}f\rm (a)$.

Définition :

Soit $f : \rm \mathbb R^n \to \mathbb R$ admettant des i-èmes dérivées partielles pour $\rm i=1\ldots n$ et soit $\rm a\in\mathbb R^n$.
Le gradient de $f$ en $\rm a$ est le vecteur :
$\nabla f (\mathrm a)=(\partial_1f(\mathrm a),\ldots \partial_{\rm n} f\rm (a))$

Définition :

Soit $f : \rm \mathbb R^n\to \mathbb R$.
$f$ est de classe $\rm C^1$ si ses dérivées partielles d'ordre $1$ existent et sont continues.
Les fonctions polynomiales de $\rm n$ variables sont des fonctions de classe $\rm C^1$ sur $\rm \mathbb R^n$.

Théorème :

Soient $f,g : \rm \mathbb R^n\to \mathbb R$ et $\alpha,\beta\in\mathbb R$.

Si $f$ et $g$ sont de classe $\rm C^1$, $\alpha f + \beta g$, $fg$ et $\displaystyle \frac{f}{g}$ (si $g$ ne s’annule pas sur $\mathbb R^n$) sont de classe $\rm C^1$.

Théorème :

Soit $f : \rm \mathbb R^n \to \mathbb R$ de classe $\rm C^1$.
Il existe un unique développement limité d’ordre $1$ de $f$ :
$f(x+h)=f(x)+(\nabla(f)(x)|h)+||h||\epsilon(h)$
Où $\epsilon(0)=0$, $\epsilon$ est continue en $0$.

Théorème :

Soit $f : \rm \mathbb R^n \to \mathbb R$ de classe $\rm C^1$.
Si $f$ admet un extremum local en $x_0$ alors $\nabla(f)(x_0)=0$.
Les points où le gradient s’annule sont appelés points critiques.