Soient E un K-espace vectoriel non réduit à {0E} et u un endomorphisme de E.
Méthode 1 : Identifier les éléments propres d’un endomorphisme
- x est vecteur propre de u si : x≠0E et il existe λ∈K tel que u(x)=λx.
- λ est valeur propre de u.
Le spectre de u noté Sp(u) est l’ensemble des valeurs propres de u.
Eλ(u)=ker(u−λIdE) est le sous-espace propre associé à la valeur propre λ.
- Un endomorphisme u∈L(E) possède au plus dim(E) valeurs propres.
Méthode 2 : Identifier les éléments propres d’une matrice carrée
- Les valeurs propres de A∈Mn(K) sont les racines du polynôme caractéristique de A :
χA avec χA(X)=det(XIn−A)
- Le polynôme caractéristique de A peut être calculé avec la formule suivante :
χA(X)=Xn−tr(A)Xn−1+...+(−1)ndet(A)
Propriété :
Les valeurs propres complexes d’une matrice réelle sont deux à deux conjuguées.
Méthode 3 : Savoir si un endomorphisme u ∈L(E) est diagonalisable
- Avec la définition :
Un endomorphisme u est diagonalisable s’il existe une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale. Cette base est appelée base de diagonalisation de u ou base propre de u.
- En utilisant le théorème suivant :
Soit u∈L(E). Il y a équivalence entre les propositions suivantes :
- u est diagonalisable.
- Il existe une base de E formée de vecteurs propres de u.
- E est la somme directe des sous-espaces propres de u c’est-à-dire E=⊕λ∈Sp(u)Eλ(u)
- ∑λ∈Sp(u)dimEλ(u)=dimE
Méthode 4 : Savoir si une matrice A∈Mn(K) est diagonalisable
- Avec la définition :
Une matrice A∈Mn(K) est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale c’est-à-dire s’il existe P∈GLn(K) et D∈Dn(K) telles que P−1AP=D.
- En utilisant le lien avec l’endomorphisme :
Soit A la matrice d’un endomorphisme u dans une base de E.
Il y a équivalence entre les propositions suivantes :
- A est diagonalisable
- u est diagonalisable
Théorème :
Si A∈Mn(K) admet n valeurs propres distinctes alors A est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont des droites vectorielles.
Méthode 5 : Polynôme annulateur
- Soit u ∈L(E) un endomorphisme.
P∈K[X] est un polynôme annulateur de u si P(u)=0 (0 étant l’application nulle).
- Si P annule u, toute valeur propre de u est racine de P.
Théorème de Cayley-Hamilton :
Le polynôme caractéristique de u χu est annulateur de u
Théorème :
Il y a équivalence entre :
- u est diagonalisable
- u annule un polynôme scindé à racines simples
- Le polynôme minimal de u est scindé à racines simples (πu=∏λ∈Sp(u)(X−λ))