Soient E un K-espace vectoriel non réduit à {0E} et u un endomorphisme de E.

Méthode 1 : Identifier les éléments propres d’un endomorphisme

  • x est vecteur propre de u si : x0E et il existe λK tel que u(x)=λx.
  • λ est valeur propre de u.

Le spectre de u noté Sp(u) est l’ensemble des valeurs propres de u.
Eλ(u)=ker(uλIdE) est le sous-espace propre associé à la valeur propre λ.

  • Un endomorphisme uL(E) possède au plus dim(E) valeurs propres.

Méthode 2 : Identifier les éléments propres d’une matrice carrée

  • Les valeurs propres de AMn(K) sont les racines du polynôme caractéristique de A

χA avec χA(X)=det(XInA)

  • Le polynôme caractéristique de A peut être calculé avec la formule suivante :

χA(X)=Xntr(A)Xn1+...+(1)ndet(A)

Propriété :

Les valeurs propres complexes d’une matrice réelle sont deux à deux conjuguées.

Méthode 3 : Savoir si un endomorphisme u L(E) est diagonalisable

  • Avec la définition :

Un endomorphisme u est diagonalisable s’il existe une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale. Cette base est appelée base de diagonalisation de u ou base propre de u.

  • En utilisant le théorème suivant :

Soit uL(E). Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

    • u est diagonalisable.
    • Il existe une base de E formée de vecteurs propres de u.
    • E est la somme directe des sous-espaces propres de u c’est-à-dire E=λSp(u)Eλ(u)
    • λSp(u)dimEλ(u)=dimE

Méthode 4 : Savoir si une matrice AMn(K) est diagonalisable

  • Avec la définition :

Une matrice AMn(K) est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale c’est-à-dire s’il existe PGLn(K) et DDn(K) telles que P1AP=D.

  • En utilisant le lien avec l’endomorphisme :

Soit A la matrice d’un endomorphisme u dans une base de E.
Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

    • A est diagonalisable
    • u est diagonalisable

Théorème :

Si AMn(K) admet n valeurs propres distinctes alors A est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont des droites vectorielles.

Méthode 5 : Polynôme annulateur

  • Soit u L(E) un endomorphisme.

PK[X] est un polynôme annulateur de u si P(u)=0 (0 étant l’application nulle).

  • Si P annule u, toute valeur propre de u est racine de P.

Théorème de Cayley-Hamilton :

Le polynôme caractéristique de u χu est annulateur de u

Théorème :

Il y a équivalence entre :

    • u est diagonalisable
    • u annule un polynôme scindé à racines simples
    • Le polynôme minimal de u est scindé à racines simples (πu=λSp(u)(Xλ))