Compléments sur les suites réelles

1) Il y a deux théorèmes importants permettant de décider de la nature (c'est-à-dire de la convergence ou de la divergence) d'une suite

On utilise les abréviations suivantes :

CV = converge ou convergente ou convergence

DV = diverge ou divergente divergence

APCR = à partir d'un certain rang

a) Les théorèmes d’encadrement :

• Si $v_n \le u_n \le w_n$ APCR et si $(v_n)$ et $(w_n)$ CV vers $l$ alors $(u_n)$ CV vers $l$
• Si $u_n \le w_n$ APCR et si $(w_n)$ DV vers $-\infty$ alors $(u_n)$ DV vers $-\infty$
• Si $v_n \le u_n$ APCR et si $(v_n)$ DV vers $+\infty$ alors $(u_n)$ DV vers $+\infty$
  

b) Le théorème de la limite monotone :

• Si $(u_n)$ est croissante et majorée alors $(u_n)$ CV
• Si $(u_n)$ est croissante et non majorée alors $(u_n)$ DV vers $+\infty$
• Si $(u_n)$ est décroissante et minorée alors $(u_n)$ CV
• Si $(u_n)$ est décroissante et non minorée alors $(u_n)$ DV vers $-\infty$
  

Remarque : ce théorème ne permet pas de déterminer la limite en cas de CV.

2) Théorème de passage à la limite (à ne pas confondre avec
le théorème de l'encadrement)

Si $\forall n \in {\Bbb N}, u_n \ge 0$ et si la suite $(u_n)$ CV alors $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty} u_n \ge 0}$.

Remarque : le passage à la limite ne conserve pas les inégalités strictes. Par exemple, $\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N}^*, \frac{1}{n} >0}$ mais $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} = 0}$ n'est pas strictement positive !

3) Convergence de la suite géométrique $(q^n)$ avec $q$ réel

• Si $q >1$ alors $(q^n)$ DV vers $+\infty$
• Si $q=1$ alors $(q^n)$ est la suite constante en $1$ donc CV vers $1$
• Si $-1<q<1$ alors $(q^n)$ CV vers $0$
• Si $q \le -1$ alors $(q^n)$ DV sans tendre vers $- \infty$ ou $+\infty$