1) INTRODUCTION

a) Différence entre une intégrale et une primitive

Une intégrale et une primitive sont deux objets différents. Une intégrale est un réel. Géométriquement, $\displaystyle{\int_a^bf(t){\rm d}t}$ mesure l'aire algébrique délimitée entre les droites verticales $x=a$, $x=b$, la courbe $y=f(x)$ et l'axe des abscisses.

L'adjectif algébrique signifie que la portion de surface en dessous de l'axe des abscisses est comptée négativement alors que celle au-dessus de l'axe des abscisses est comptée positivement.

La notion d'aire et donc d'intégrale est relativement complexe à construire. Pour résumer, on peut dire qu'une intégrale est une limite. C'est la limite de la somme d'aires de rectangles construits sur la courbe. Toute la difficulté est de savoir si cette limite existe. La théorie affirme que si $f$ est continue ou même continue par morceaux sur le segment $[a,b]$ alors cette limite existe et par conséquent l'intégrale de la fonction existe. 

Il existe des fonctions très irrégulières qui n'admettent pas d'aire sous leur courbe. Un exemple est la fonction 

$\begin{array}{lllc}
f & {\Bbb R} & \rightarrow & {\Bbb R} \\ 
& x & \mapsto & 
\left\{\begin{array}{cc}
1 & \mbox{ si }x \in {\Bbb Q} \\
0 & \mbox{ si }x \notin {\Bbb Q} \\\end{array}\right.
\end{array}$

${\Bbb Q}$ est l'ensemble des nombres rationnels c'est-à-dire les nombres de la forme $\frac{a}{b}$ avec $a \in {\Bbb Z}$ et $b \in {\Bbb N}^*$. Si on essaie de tracer le graphe de cette fonction, on comprend assez rapidement pourquoi l'aire sous la courbe n'existe pas. 

La variable $t$ qui apparaît dans $\displaystyle{\int_a^bf(t){\rm d}t}$ s'appelle la variable d'intégration. Cette variable n'apporte aucune information. Si on la renomme en une autre lettre, on obtient toujours le même nombre. On dit que $t$ est une variable muette (comme l'indice muet $k$ dans la somme $\displaystyle{\sum_{k=0}^na_k}$).

De sorte que l'on peut écrire :

$\displaystyle{I = \int_a^bf(t){\rm d}t = \int_a^bf(x){\rm d}x = \int_a^bf(u){\rm d}u = \int_a^b f}$

Dans la dernière expression, on ne fait même plus référence à la variable d'intégration.

En conséquence, l'expression $\displaystyle{I(t) = \int_a^bf(t){\rm d}t}$ n'a pas de sens ! L'intégrale est un nombre est ne dépend pas de la variable $t$. 

b) Comment justifier l'existence d'une intégrale ou d'une primitive ?

Nous avons vu en préambule que si la fonction $f$ est trop irrégulière, l'aire $\displaystyle{\int_a^b f(t){\rm d}t}$ n'existe pas. 

  • Si $f$ est continue sur $[a,b]$ alors le réel $\displaystyle{\int_{a}^{b}f(t){\rm d } t}$ existe.

La réciproque est fausse. Il est possible que l'intégrale ou la primitive d'une fonction existe sans pour autant que cette fonction soit nécessairement continue.

2) PRIMITIVE

a) Définition

Soit $f: I \rightarrow {\Bbb R}$ une fonction définie sur l'intervalle $I$. Une primitive de $f$ est une fonction $F$ vérifiant :

  1. $F$ est dérivable sur $I$
  2. $F'=f$

Remarques :

Notons qu'une primitive d'une fonction sur un intervalle $I$ n'est définie qu'à une constante près. En effet, si $F$ et $G$ sont deux primitives d'une même fonction $f$ alors $(F-G)'=F'-G'=f-f=0$ sur l'intervalle $I$ de sorte que $F-G$ est une fonction constante. 

Une primitive de la fonction $f$ se note $\displaystyle{F=\int f \mbox{ ou } F(x) = \int f(x){\rm d}x}$. Le symbole est le même que celui pour l'intégrale mais  sans borne. 

Cette notation est ambiguë car d'une part elle ne précise par sur quel intervalle on travaille et d'autre part elle désigne une primitive à une constante près. 

Par exemple, la formule $\displaystyle{\int\frac{{\rm d}x}{x} = \ln|x|}$ synthétise en fait deux formules :

$\scriptstyle \int \frac{{\rm d}x}{x} = 
\left\{\begin{array}{ll} 
\ln x + k_1& \rm sur~l'intervalle~]0,+\infty[ \\ 
\ln(-x) + k_2& \rm sur ~l'intervalle~]-\infty,0[
\end{array}\right.$

où $k_1$ et $k_2$ désignent deux constantes réelles. 

b) Lien intégrale-primitive

Il y a deux liens à connaître entre intégrale et primitive. Un premier lien est constitué par ce qu'on appelle le Théorème Fondamental de l'Analyse (TFA).

Théorème Fondamental de l'Analyse :

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de ${\Bbb R}$. Alors $f$ admet une primitive $F$ sur $I$ et $F$ est donnée par la formule : 

$\displaystyle{\forall x \in I, F(x) = \int_c^xf(t)\,{\rm d}t}$ où $c$ est un réel fixé de l'intervalle $I$. 

Remarques :

$F(c)=0$ donc $F$ est en fait l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $c$. En outre, comme $F$ est une primitive, par définition, $F$ est dérivable sur $I$ et $F'=f$. Comme $f$ est continue, $F$ est une fonction dérivable à dérivée continue autrement dit c'est une fonction de classe $C^1$ sur $I$. 

Dans l'expression $\displaystyle{\forall x \in I, F(x) = \int_c^xf(t){\rm d}t}$ il ne faut pas confondre la variable $x$ et la variable d'intégration $t$. La fonction $F$ dépend de la variable $x$ mais aucunement de la variable $t$. 

Exemple : la fonction $\displaystyle{x \mapsto F(x) = \int_{3}^{x}t{\rm d}t}$ est l'unique primitive de la fonction $t \mapsto t$ sur ${\Bbb R}$ qui s'annule en $3$. 

On a $\displaystyle{F(x) = \int_{3}^{x}t\,{\rm d}t = \left[\frac{t^2}{2}\right]_3^x = \frac{1}{2}(x^2-9)}$.

Théorème :

Soit $f:[a,b] \rightarrow$ une fonction continue sur le segment $[a,b]$. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$. Alors on a $\displaystyle{\int_{a}^{b}f(t){\rm d}t = F(b)-F(a)}$.

3) INTÉGRALES

a) Propriétés à retenir de l'intégrale

  • Linéarité de l'intégrale

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[a,b]$ et si $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels, alors : $\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\alpha.f(t)+\beta.g(t)\right){\rm d}t = \alpha \int_a^{b}f(t){\rm d}t + \beta \int_a^{b} g(t){\rm d}t}$

  • Positivité de l'intégrale

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Alors, $\displaystyle{(\forall t \in [a,b], f(t) \ge 0) \Longrightarrow \int_a^{b}f(t){\rm d}t \ge 0}$.

  • Croissance de l'intégrale

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$. Alors, $\displaystyle (\forall t \in [a,b], f(t) \ge g(t))$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \int_a^{b}f(t){\rm d}t \ge \int_a^{b}g(t){\rm d}t$

  • Inégalité triangulaire

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Alors, $\displaystyle{\left|\int_a^{b}f(t){\rm d}t\right| \le \int_a^{b}|f(t)|{\rm d}t}$.

  • Relation de Chasles

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Pour tout réel $c$ dans $]a,b[$ : $\displaystyle{\int_a^{b}f(t){\rm d}t = \int_a^{c}f(t){\rm d}t + \int_c^{b}f(t){\rm d}t}$.

Ces propriétés ne sont valables que lorsque $a < b$. Ainsi l'intégrale d'une fonction positive peut très bien être négative ! Par exemple, $\displaystyle{\int_1^{0}x^2 = -\frac{1}{3}<0}$.

b) Intégration par parties (IPP)

Formule d'IPP pour une primitive : $\displaystyle \int u'(x)v(x){\rm d}x$ $= \displaystyle u(x)v(x) - \int u(x)v'(x){\rm d}x$

Formule d'IPP pour une intégrale :

$\displaystyle \int_a^b u'(x)v(x){\rm d}x$ $=\displaystyle [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x$

Une primitive est une fonction alors qu'une intégrale est un nombre positif ou négatif.

Exemples :

Calculons une primitive de $f(x) = xe^{-x}$. On choisit $u'(x)=e^{-x}$ et $v(x)=x$. Donc $u(x) = - e^{-x}$ et $v'(x)=1$.

La formule d'IPP donne :

$\displaystyle F(x) = \int xe^{-x}{\rm d}x$ $= \displaystyle u(x)v(x) - \int u(x)v'(x){\rm d}x$ $= \displaystyle -e^{-x}x - \int -e^{-x}{\rm d}x$

$\displaystyle F(x) = -xe^{-x} + \int e^{-x}{\rm d}x$ $= -xe^{-x} -e^{-x} = -(x+1)e^{-x}$.

Remarque : on peut vérifier le résultat en dérivant $F$. On trouve bien $F'=f$ donc $F$ est bien une primitive de $f$.

Calculons l'intégrale $\displaystyle{I = \int_1^e \ln(x){\rm d}x}$.

On choisit $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln(x)$. Donc $u(x)=x$ et $v'(x) = 1/x$.

D'après la formule d'IPP pour les intégrales, on a :

$\displaystyle I = [x\ln(x)]_1^e - \int_1^ex \frac{1}{x}{\rm d}x$ $= \displaystyle e\ln(e)-1\ln(1) - \int_1^e 1 {\rm d}x$ $= e - (e-1) = 1$