1) Théorèmes
a) Théorème de la limite monotone :
- Si $f$ est croissante et majorée (respectivement minorée) sur l’intervalle $]a~;b[$, alors $f$ admet une limite finie en $b$ (respectivement en $a$).
- Si $f$ est croissante et non majorée (respectivement non minorée) sur l’intervalle $]a~;b[$, alors $f$ admet pour limite $+\infty$ en $b$ (respectivement $-\infty$ en $a$).
b) Théorème des valeurs intermédiaires :
Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ n'ont pas le même signe alors $f$ s'annule au moins une fois entre $a$ et $b$.
Si, de plus, on sait que $f$ est strictement monotone alors $f$ s'annule une unique fois.
c) Si $f$ est une fonction continue sur un segment alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
2) Fonctions valeur absolue, exponentielle et logarithme
Fonction valeur absolue : définie sur $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb R^+$, $f(x)=|x|$.
- Si $x$ est positif, $f(x)=x$
- Si $x$ est négatif, $f(x)=-x$.
Fonction exponentielle : définie sur $\mathbb R$, $\exp’(x)=\exp(x)=e^x$
Propriétés :
- Pour tous réels $a$ et $b$, $e^ae^b=e^{a+b}$
- Pour tout réel $a$, $\displaystyle e^{-a}=\frac{1}{e^a}$
- Pour tout réel $a$, $e^a>0$
- $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\exp(h)-1}{h}=1$
- La dérivée de $e^{u(x)}$ (si $u$ est dérivable) est égale à $u’(x)e^{u(x)}$
Fonction logarithme népérien : définie sur $]0~ ;+\infty[$, $\ln’(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$.
Propriétés :
- Pour $a,b>0$, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ et $\ln\left(\displaystyle\frac{1}{b}\right)=-\ln(b)$
- Pour tout $x\in ]0 ;+\infty[$, $e^{\ln(x)}=x$ et pour tout $x\in\mathbb R$, $\ln(e^x)=x$.
- $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$
- La dérivée de $\ln(u(x))$ (si $u$ est strictement positive et dérivable) est égale à $\displaystyle \frac{u’(x)}{u(x)}$
Croissances comparées : Pour les calculs de limites, en cas de formes indéterminées, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance et toute puissance l’emporte sur le logarithme népérien.
