Compléments sur les fonctions réelles

1) Théorèmes

a) Théorème de la limite monotone : 

• Si $f$ est croissante et majorée (respectivement minorée) sur l’intervalle $]a~;b[$, alors $f$ admet une limite finie en $b$ (respectivement en $a$).
• Si $f$ est croissante et non majorée (respectivement non minorée) sur l’intervalle $]a~;b[$, alors $f$ admet pour limite $+\infty$ en $b$ (respectivement $-\infty$ en $a$).

b) Théorème des valeurs intermédiaires :

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ n'ont pas le même signe alors $f$ s'annule au moins une fois entre $a$ et $b$.

Si, de plus, on sait que $f$ est strictement monotone alors $f$ s'annule une unique fois.

c) Si $f$ est une fonction continue sur un segment alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

2) Fonctions valeur absolue, exponentielle et logarithme

Fonction valeur absolue : définie sur $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb R^+$, $f(x)=|x|$.

• Si $x$ est positif, $f(x)=x$
• Si $x$ est négatif, $f(x)=-x$.

Fonction exponentielle : définie sur $\mathbb R$, $\exp’(x)=\exp(x)=e^x$

Propriétés :

• Pour tous réels $a$ et $b$, $e^ae^b=e^{a+b}$
• Pour tout réel $a$, $\displaystyle e^{-a}=\frac{1}{e^a}$
• Pour tout réel $a$, $e^a>0$ 
• $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\exp(h)-1}{h}=1$
• La dérivée de $e^{u(x)}$ (si $u$ est dérivable) est égale à $u’(x)e^{u(x)}$ 

Fonction logarithme népérien : définie sur $]0~ ;+\infty[$, $\ln’(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$.

Propriétés : 

• Pour $a,b>0$, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ et $\ln\left(\displaystyle\frac{1}{b}\right)=-\ln(b)$ 
• Pour tout $x\in ]0 ;+\infty[$, $e^{\ln(x)}=x$ et pour tout $x\in\mathbb R$, $\ln(e^x)=x$.
• $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$
• La dérivée de $\ln(u(x))$ (si $u$ est strictement positive et dérivable) est égale à $\displaystyle \frac{u’(x)}{u(x)}$
  

Croissances comparées : Pour les calculs de limites, en cas de formes indéterminées, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance et toute puissance l’emporte sur le logarithme népérien.