Fonctions réelles d'une variable réelle

1) Généralités

L’ensemble de définition $\mathscr D_f$ d’une fonction $f$ est l’ensemble de tous les réels $x$ pour lesquels $f(x)$ est calculable. 

Parité

• $f$ est paire si, pour tout $x\in \mathscr D_f$, $-x\in \mathscr D_f$ et $f(-x)=f(x)$.
  La courbe représentant $f$ est alors symétrique par rapport à l’axe $(\mathrm O,j)$.
  Exemple : $f(x)=x^2$.
• $f$ est impaire si, pour tout $x\in \mathscr D_f$, $-x\in \mathscr D_f$ et $f(-x)= -f(x)$.
  La courbe représentant $f$ est alors symétrique par rapport à $\mathrm O$.
  Exemples : $f(x)=x^3$.

2) Limites

La notation $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=a$ signifie que $f$ admet $a$ pour limite en $x_0$.

Remarque :

$a$ peut désigner un nombre, ou $+\infty$ ou $-\infty$.

La notation $x\to x_0^+$ (respectivement $x\to x_0^-$) signifie que $x$ tend vers $x_0$ par valeurs supérieures (respectivement inférieures). 

Ainsi on définit $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=a$ et respectivement $\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=a$ que l’on appelle limite à droite (respectivement à gauche) en $x_0$.

Propriétés :

Une fonction $f$ admet une limite $a$ en $x_0$, si et seulement si, elle admet $a$ pour limite à droite et à gauche de $x_0$.

Si $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) \neq \displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)$ alors $f$ n’a pas de limite en $x_0$.

Exemple :

$x\mapsto\displaystyle\frac{1}{x}$ n’a pas de limite en 0.

Règles de domination :

• Au voisinage de l’infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré.
  Exemple : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(-3x^2+5x+6)= \displaystyle\lim_{x\to +\infty}(-3x^2)=-\infty$
• Au voisinage de l'infini, le quotient de deux polynômes (fraction rationnelle) se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré.
  Exemple : $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2+4x^3+2}{x^2+3x}= \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{4x^3}{x^2}=\lim_{x\to -\infty}4x=-\infty$

Asymptotes :

Une droite asymptote à une courbe est une droite telle que, lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers l'infini, la distance de la courbe à la droite tend vers $0$.

Une fonction $f$ admet :

• Une asymptote verticale d’équation $x=x_0$ lorsque $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\pm \infty$ ;
• Une asymptote horizontale d’équation $y=l$ lorsque $\displaystyle\lim_{x\to \pm \infty}f(x)= l$;

3) Continuité

Définitions :

• Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $x_0$. On dit que $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
• $f$ est continue sur un intervalle $\mathrm I$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $\rm I$.

4) Dérivation

Définition :

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ contenant $x_0$. $f$ est dérivable en $x_0$ si $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe et est finie. 

On a alors $f’(x_0)=\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

Remarque :

Une fonction dérivable en $x_0$ est continue en $x_0$.

Définitions :

• $f$ admet un extremum (maximum ou minimum) local en $x_0$ si et seulement si $f’$ s’annule et change de signe en $x_0$. Il y a donc une tangente horizontale en $x_0$.
• Si $f’(x)\geq 0$ pour tout $x\in\rm I$, alors $f$ est croissante sur $\rm I$.
• Si $f’(x)\leq 0$ pour tout $x\in \rm I$, alors $f$ est décroissante sur $\rm I$.

5) Bijection

Définition :

On dit que $f$ est une bijection de $\rm I$ dans $\rm J$ si et seulement si pour tout $x$ de $\rm I$, $f(x)\in \rm J$ et si pour tout $y\in \rm J$, il existe un unique $x\in \rm I$ tel que $y=f(x)$.

Définition :

Soit $f$ une bijection de l’intervalle $\rm I$ sur l’intervalle $\rm J$.

Il existe une unique fonction définie sur $\rm J$ à valeurs dans $\rm I$ appelée fonction réciproque et notée $f^{-1}$ telle que :

Pour tout $x\in \rm I$, $f^{-1}\circ f(x)=x$

Pour tout $y\in \rm J$, $f\circ f^{-1}(y)=y$.

Théorème :

Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est une bijection.

6) Fonctions convexes

Soit $f : \bf{I \to \mathbb R}$ dérivable.

Il y a équivalence entre :

• $f$ est convexe
• $f’$ est croissante
• $f’’>0$ (si $f$ est deux fois dérivable).

Soit $f : \bf{I \to \mathbb R}$ dérivable.

Si $f$ est convexe, alors son graphe est au-dessus de chacune de ses tangentes.