Probabilités (Partie 1)

1) Etudier des probabilités

Définition :

On définit $P(A)$ la probabilité de l’événement $A\in\Omega$ par :

$P(A)=\frac{\mbox{nombre de cas favorables à l’événement}}{\mbox {nombre de cas possibles}}$

Propriétés élémentaires :

• $P(\emptyset)=0$
• $P(\Omega)=1$
• $0\leq P(A)\leq 1$
• $P(\bar{A})=1-P(A)$ avec $\bar{A}$ événement contraire de $A$.
• $P(A)=1$ signifie que l’évènement est toujours réalisé (évènement certain).
• $P(A)=0$ signifie que l’évènement est impossible.
• $P(A\mbox{ ou }B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 
• Si $A$ et $B$ sont incompatibles (ou exclusifs : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps), alors $A\cap B=\emptyset$ et $P(A\mbox{ et }B)=P(A\cap B)=0$. .

Définition :

Soit $B$ événement de $\Omega$ tel que $P(B)>0$.

Pour tout $A$ événement de $\Omega$, la probabilité de $A$ sachant $B$ (probabilité conditionnelle) est : 

Théorème :

Soient $A, B$ deux événements de $\Omega$.

Théorème : Formule de Bayes

Si $A$ et $B$ sont deux événements de probabilités non nulle :

Définition :

Deux événements $A, B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Remarque :

• Si $P(B)>0$, $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A|B)=P(A)$.
• Deux événements qui ne sont pas indépendants, sont dits liés.

Théorème :

Si $A$ et $B$ sont indépendants :

• $A$ et $\bar{B}$ sont indépendants.
• $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants.
• $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont indépendants.

Théorème : Formule des probabilités totales

Par lecture de l’arbre des probabilités, on retrouve la formule des probabilités totales :

Plus généralement, si $A_1,…,A_n$ est un système complet d’événements (pour tous $i,j\in 1,..,n$ avec $i\neq j$, $A_i\cap A_j=\emptyset$ et $\bigcup_{i=1}^nA_i=\Omega$), alors pour tout événenement $B\in\Omega$, $P(B)=\displaystyle \sum_{i=1}^nP(B \cap A_i)$.

2) Etudier des variables aléatoires réelles

On considère l’espace $\Omega$ fini.

Variable aléatoire : Une variable aléatoire est une application de $\Omega$ dans $\mathbb R$.

Fonction de répartition : $F_X(x)=P(X\leq x)$

Espérance ou moyenne de $X$ : $E(X)=\displaystyle\sum_i x_iP(X=x_i)$

$E(aX+b)=aE(X)+b$