Probabilités (Partie 2)

1) Coefficients binomiaux

$\displaystyle \left(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\right)=\frac{n !}{p !(n-p) !}$
$\displaystyle \left(\begin{matrix}n\\0\end{matrix}\right)=1$
$\displaystyle \left(\begin{matrix}n\\1\end{matrix}\right)=n$
$\displaystyle \left(\begin{matrix}n\\n\end{matrix}\right)=1$
$\displaystyle \left(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\right)=\displaystyle \left(\begin{matrix}n\\n-p\end{matrix}\right)$

Formule du triangle de Pascal :

$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n+1\\p\end{matrix}\Big)=\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)+\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p-1\end{matrix}\Big)$

2) Etudier des variables aléatoires réelles

• Espérance ou moyenne de $X$ : $E(X)=\displaystyle\sum_i x_iP(X=x_i)$
  

$E(aX+b)=aE(X)+b$

Si $E(X)=0$, $X$ est dite variable centrée.

Formule de transfert :

Si $f$ est une fonction à valeurs réelles, $E(f(X)) = \displaystyle\sum_{i}f(x_i)P(X = x_i)$.

• Variance de $X$ : $V(X)=E((X-E(X))^2)$.
• Ecart-type : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

Propriétés :

• $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$
• $V(aX+b)=a^2V(X)$ pour tous $a,b\in \mathbb R$
• Si $V(X)=1$, $X$ est dite variable réduite.

3) Lois usuelles finies

Loi uniforme :

La variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur $[|1 ;n|]$ si :
$P(X=k)=\frac{1}{n}$
$E(X)=\displaystyle\frac{n+1}{2}$
$V(X)=\displaystyle\frac{n^2-1}{12}$

Loi de Bernoulli :

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire dont l’univers associé peut être résumé à deux choix que l’on nommera « succès » et « échec » de probabilités respectives $p$ et $q=1-p$.

La variable aléatoire $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ (avec $p\in ]0 ;1[$) si :

$P(X=0)=1-p$ et $P(X=1)=p$

On note $X\sim \mathcal{B}(p)$.

$E(X)=p$ et $V(X)=p(1-p)$.

Loi binomiale :

On obtient une distribution binomiale lorsque l’on répète des épreuves de Bernoulli identiques $n$ fois avec des résultats indépendants les uns des autres. 

La variable aléatoire $X$, comptant le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (avec $n\in\mathbb N^*$ et $p\in ]0 ;1[$) si :

Pour tout $k\in [|0,n|]$, $P(X=k)=\Big(\begin{array}{ll}n\\k \end{array}\Big) p^k(1-p)^{n-k}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

On note $X\sim \mathcal{B}(n,p)$.