Séries numériques

• Définition :
  

Définition :

Une série $\displaystyle\sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $(S_n)_{n\in\mathbb N}$ avec $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k$ converge. 

On note $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k$.

Théorème :

Si la série $\displaystyle\sum u_n$ converge, alors la suite $(u_n)_n$ tend vers 0.

Remarque : Si $(u_n)_n$ ne tend pas vers 0, on dit que la série $\displaystyle\sum u_n$ diverge grossièrement.

• Opérations :
  

Théorème :

Soient $\displaystyle\sum u_n$ et $\displaystyle\sum v_n$ deux séries convergentes et $\lambda \in \mathbb K$.

Alors $\sum \lambda u_n$ et $\displaystyle\sum u_n+v_n$ sont des séries convergentes.

• Cas des séries à termes positifs :
  

Théorème :

Soient $\displaystyle\sum u_n$ et $\displaystyle\sum v_n$ deux séries à termes positifs telles que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n \leq v_n$.

1. Si $\displaystyle\sum v_n$ converge, alors $\displaystyle\sum u_n$ converge.
2. Si $\displaystyle\sum u_n$ diverge, alors $\displaystyle\sum v_n$ diverge.
   

Définition :

Soit $(u_n)$ une suite réelle ou complexe.

$\displaystyle\sum u_n$ converge absolument si $\displaystyle\sum |u_n|$ converge.

Théorème :

Si $\displaystyle\sum u_n$ converge absolument, alors la série converge.

• Séries de références :
  

Théorème (séries de Riemann) :

$\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

Théorème (séries géométriques) :

Soit $q\in\mathbb C$.

• Si $|q|\geq 1$, alors $\displaystyle\sum q^n$ diverge grossièrement.
• Si $|q|<1$, alors $\displaystyle\sum q^n$ converge absolument et $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$

Théorème (série exponentielle) :

Pour tout réel $x$, la série $\displaystyle\sum\frac{x^n}{n !}$ converge et $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n !}=e^x$