Variables aléatoires discrètes infinies

1) Généralités

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$ un espace probabilisé.

Définition :

Soit $\rm E$ un ensemble.

Une variable aléatoire discrète définie sur $\Omega$ est une application $\rm X$ de $\Omega$ dans $\rm E$ telle que :

• $\rm X(\Omega)$ soit fini ou dénombrable
• Pour tout $x\in \rm X(\Omega)$, $\mathrm X^{-1}(\{x\})=\{w\in\Omega/\mathrm X(w)=x\} \in\mathcal{A}$.

Remarques :

Si $\rm E\subset \mathbb R$, on parle de variable aléatoire réelle.
L'événement $\mathrm X^{-1}(\{x\})$ peut se noter $\mathrm X=x$.

Définition :

Soit $\rm X:\Omega\to E$ variable aléatoire discrète.

La loi de $\rm X$ est l'application $\rm P_X : \mathcal{P}(X(\Omega))\to [0 ~;1]$ telle que pour tout $\rm A\in \mathcal{P}(X(\Omega))$, $\rm P_X(A)=P(X\in A)$ avec $\mathrm {(X\in A)}=\{w\in \Omega/ \mathrm X(w)\in A\}.$

La loi $\rm P_X$ définit une probabilité sur l'espace probabilisable $(\rm X(\Omega),\mathcal{P}(X(\Omega)))$.

2) Calculs

Soient $\rm X,Y$ variables aléatoires réelles discrètes définies sur $(\Omega, \mathcal{A}, \rm P)$.

Définition :

L’espérance de $\rm X$ vaut :

Définition :

La variance de $\rm X$ est $\rm V(X)=E((X-E(X))^2)$.

Son écart-type est $\displaystyle \rm \sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

3) Loi de Poisson

La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi de Poisson de paramètres $\lambda$ ($\lambda>0$) si $\rm X(\Omega)=\mathbb N$ et $\rm \displaystyle P(X=k)=\exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k !}$.

On note $\rm X\sim \mathcal{P}(\lambda)$.

$\rm E(X)=\lambda$ et $\rm V(X)=\lambda$.

4) Loi géométrique

La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi géométrique de paramètre $\rm p$ ($\rm p\in ]0 ~;1[$) si :

• $\rm X(\Omega)=\mathbb N^*$
• $\rm P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$

On note $\rm X\sim \mathcal{G}(p)$.    

$\rm \displaystyle E(X)=\frac{1}{p}$ et $\rm \displaystyle V(X)=\frac{1-p}{p^2}$.