Soit $f : \rm I \to \mathbb R$
$f$ est convexe si elle vérifie :
Pour tous $\rm a,b\in I$, pour tout $\lambda \in [0 ~;1]$, $f((1\mathrm{-\lambda)a+\lambda b)} \leq (1-\lambda)f(\mathrm a)+\lambda f(\mathrm b)$.
$f$ est concave si elle vérifie :
Pour tous $\rm a, b\in I$, pour tout $\lambda \in [0~ ;1]$, $f((1-\lambda)\mathrm{a+\lambda b)} \geq (1-\lambda)f(\mathrm a)+\lambda f(\mathrm b)$.
Inégalité de Jensen : si $f$ est une fonction convexe sur un intervalle $\rm I$, quels que soient les réels positifs $\lambda_1, \ldots,\lambda_n$ de somme 1 et quels que soient les éléments $x_1,\ldots,x_n$ de $\rm I$, alors :
$f\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right)\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_if( x_i)$