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Convexité

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Méthode 1 : Étudier des fonctions convexes dans le cas général

Soit f:IR

f est convexe si elle vérifie :

Pour tous a,bI, pour tout λ[0 ;1], f((1λ)a+λb)(1λ)f(a)+λf(b).

f est concave si elle vérifie :

Pour tous a,bI, pour tout λ[0 ;1], f((1λ)a+λb)(1λ)f(a)+λf(b).

Inégalité de Jensen : si f est une fonction convexe sur un intervalle I, quels que soient les réels positifs λ1,,λn de somme 1 et quels que soient les éléments x1,,xn de I, alors :

f(ni=1λixi)ni=1λif(xi)

Méthode 2 : Étudier des fonctions convexes dérivables

Soit $f : \bf{I \to \mathbb R}$ dérivable.

Il y a équivalence entre :

  • $f$ est convexe
  • $f’$ est croissante
  • $f’’>0$ (si $f$ est deux fois dérivable).

Soit $f : \bf{I \to \mathbb R}$ dérivable.

Si $f$ est convexe, alors son graphe est au-dessus de chacune de ses tangentes.

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