Soit f:I→R
f est convexe si elle vérifie :
Pour tous a,b∈I, pour tout λ∈[0 ;1], f((1−λ)a+λb)≤(1−λ)f(a)+λf(b).
f est concave si elle vérifie :
Pour tous a,b∈I, pour tout λ∈[0 ;1], f((1−λ)a+λb)≥(1−λ)f(a)+λf(b).
Inégalité de Jensen : si f est une fonction convexe sur un intervalle I, quels que soient les réels positifs λ1,…,λn de somme 1 et quels que soient les éléments x1,…,xn de I, alors :
f(n∑i=1λixi)≤n∑i=1λif(xi)