Équations complexes

Voici la méthode pour chercher les racines carrées d'un nombre complexe.

Soit $\mathrm A=a+ib$ un nombre complexe. On cherche $z=x+iy$ tel que $z^2=\mathrm A$.

On a $z^2=\mathrm A \iff$ $(x+iy)^2 = a+ib$ $\iff x^2-y^2 +2ixy =a +ib$.

On obtient un système de deux équations à deux inconnues :

$\left\{\begin{array}{lll} x^2-y^2 & = a \\ 2xy & = b \end{array}\right.$

Pour faciliter la résolution, on ajoute une troisième équation $z^2=A \Rightarrow |z^2| = |A|$. Or $|z^2| = |z|^2 = x^2+y^2$ et $|A|=\sqrt{a^2+b^2}$.

On obtient donc un système $3$ d'équations à $2$ inconnues :

$\left\{\begin{array}{llll} x^2-y^2 & = a & (1)\\ x^2+y^2 & = \sqrt{a^2+b^2} & (2)\\ 2xy & = b & (3) \end{array}\right.$
$(1) + (2)$ donne $x$.

$(2) - (1)$ donne $y$. Cela va fournir $4$ couples $(x,y)$ possibles. Mais l'équation $(3)$ indique si $x$ et $y$ sont de même signe ou de signe contraire.

Remarque 1 : on doit toujours obtenir deux racines carrées, la deuxième étant opposée à la première.

Remarque 2 : si $\mathrm A$ est un nombre réel négatif, il est inutile d'utiliser cette méthode. Les racines carrés de $\mathrm A$ sont alors $\pm i\sqrt{-\mathrm A}$.

Exemple :

Cherchons les racines carrées du nombre $\mathrm A=3-4i$.

On cherche donc $z=x+iy$ tel que $z^2=\mathrm A$.

$z^2=a \iff (x+iy)^2=\mathrm A$ $\iff x^2-y^2 + 2xy i = 3-4i$ $\iff \left\{ \begin{array}{lll} x^2-y^2= 3\\ 2xy= - 4 \end{array}\right.$
L'utilisation du module va fournir une $\rm 3^{ème}$ équation.

$z^2=\mathrm A \Longrightarrow |z^2| = |\mathrm A|$.
Or $|z^2|=|z|^2=x^2+y^2$ et $|\mathrm A|=\sqrt{9+16}=5$. On a donc le système d'équations :

$\left\{\begin{array}{cccc} x^2-y^2 & = & 3 & (1) \\ x^2+y^2 & = & 5 & (2) \\ \mbox{signe}(xy) & = & \mbox{négatif} \end{array} \right.$
En additionnant $(1)$ et $(2)$, on obtient: $2x^2 = 8$ soit $x^2=4$ soit $x = \pm 2$.

En soustrayant $(2)$ et $(1)$, on obtient: $2y^2 = 2$ soit $y^2=1$ soit $y = \pm 1$.

Comme le signe de $x$ et $y$ sont différents, on a ($x=2$ ET $y=-1$) OU ($x=-2$ ET $y=1$).

Les racines carrées de $3-4i$ sont donc $z=2-i \mbox{ et }z=-2+i$.

Vérification : $(2-i)^2 = 4 -4i +i^2 = 3-4i$.

Théorème : Soient $a,b,c\in\mathbb C$ avec $a\neq 0$.

L’équation $az^2+bz+c=0$ d’inconnue $z\in\mathbb C$ a pour solution $\displaystyle\frac{-b-\delta}{2a}$ et $\displaystyle\frac{-b+\delta}{2a}$ où $\delta$ est une racine carrée du discriminant $b^2-4ac$.

Propriétés : La somme des solutions de l’équation $az^2+bz+c=0$ vaut $\displaystyle\frac{-b}{a}$.
Le produit des solutions de l’équation $az^2+bz+c=0$ vaut $\displaystyle\frac{c}{a}$.

Définition : soit $z$ un complexe non nul. Soit $n$ un entier naturel non nul. Une racine $n$-ème de $z$ est un nombre complexe $u$ tel que $u^n=z$. 

Théorème : Tout nombre complexe non nul $z$ admet exactement $n$ racines $n$-èmes.

Attention, on ne peut écrire $ u=\sqrt[n]{z}$ que si $z\in\mathbb R^+$ !

Définition : Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle racine $n$-ième de l'unité, un nombre complexe $z$ tel que $z^n=1$.

Elles s'écrivent : $\displaystyle \mathrm e^{\frac{2i\pi k}{n}}$ avec $k=0,\ldots,n-1$.

On note $ \mathbb U_n$ l’ensemble des racines $n$-èmes de l’unité.

Propriété : La somme des $n$ racines $n$-èmes de l’unité est égale à $0$.

Méthode pour déterminer toutes les racines $n$-èmes complexes de $z$. 

• $\rm 1^{ère}$ étape : on écrit $z$ sous forme exponentielle $z = \mathrm{Re}^{i\varphi}$.
• $\rm 2^{ème}$ étape : on cherche une racine $n$-ème particulière de $z$ à l'aide de la formule
  $u_0= \mathrm R^{\frac{1}{n}}\mathrm e^{\frac{i\varphi}{n}}$.
• $\rm 3^{ème}$ étape : on obtient toutes les racines $n$-èmes de $z$ en multipliant la racine particulière $u_0$ par les $n$ racines $n$-èmes de l'unité $\omega_k = e^{\frac{2i\pi k}{n}}$ soit $u_ k = u_0 \omega_k$ avec $k=0,\ldots,n-1$. 

Exemple : calculons les racines cubiques de $z=1+i$.

• $\rm 1^{ère}$ étape : on a $z=\sqrt{2}\mathrm e^{\frac{i\pi}{4}}$. 
• $\rm 2^{ème}$ étape : on cherche une racine cubique $u_0$ particulière.
  On prend $u_0 = \left(\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{3}}\mathrm e^{\frac{i\pi}{12}} = 2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{\frac{i\pi}{12}}$.
• $\rm 3^{ème}$ étape : pour obtenir toutes les racines cubiques de $z$, on multiplie $u_0$ par les racines cubiques de l'unité: $1,j,j^2$. On obtient alors :
  $1\times u_0=u_0= 2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{\frac{i\pi}{12}}$.

$j\times u_0 = \mathrm e^{\frac{2i\pi}{3}}2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{\frac{i\pi}{12}} = 2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{\frac{3i\pi}{4}}$.

$j^2\times u_0 = \mathrm e^{\frac{4i\pi}{3}}2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{\frac{i\pi}{12}}$ $= 2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{\frac{17i\pi}{12}}$ $= 2^{\frac{1}{6}}\mathrm e^{-\frac{7i\pi}{12}}$.

Remarque : lorsqu'on relie les points d'affixe les racines $n$-èmes, on doit obtenir un polygone régulier (c'est-à-dire tous les côtés ont la même longueur) inscrit dans le cercle de centre l'origine et de rayon $\mathrm R^{\frac{1}{n}}$.

Exemple : $\mathbb U_3=\{1 ~;j ~;j^2\}$ est l’ensemble des sommets d’un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.