Équations différentielles linéaires du 2nd ordre à coefficients constants

Définition :

Soient $(a,b,c) \in {\Bbb R}^3$. On suppose que $a \neq 0$. 

Soit $\varphi : {\Bbb R}\rightarrow {\Bbb R}$ ou $ {\Bbb C}$ une fonction continue sur $ {\Bbb R}$.

L'équation $(\mathrm E): ay''+by'+cy=\varphi(x)$ s'appelle une EDL du second ordre à coefficients constants.

On s’intéressera en particulier aux fonctions $\varphi$ de la forme :

• $x \mapsto \mathrm{Ae}^{\lambda x}$ avec $(\mathrm A,\lambda) \in {\Bbb C}^2$
• $x \mapsto \mathrm B\cos(\omega x)$ avec $(\mathrm B,\omega) \in {\Bbb R}^2$
• $x \mapsto \mathrm B\sin(\omega x)$ avec $(\mathrm B,\omega) \in {\Bbb R}^2$.

$\bf 1^{ère}$ étape : on résout l'équation homogène associée $(\mathrm E_0) : ay''+by'+cy=0$. On écrit caractéristique : $ar^2+br+c=0$. Le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

• Si $\Delta>0$ alors l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$. Les solutions de $(\mathrm E_0)$ sont de la forme $x\in {\Bbb R} \mapsto \lambda_1\mathrm e^{r_1x}+\lambda_2\mathrm e^{r_2x}$ avec $(\lambda_1,\lambda_2)\in{\Bbb R}^2$.
• Si $\Delta=0$ alors l'équation caractéristique admet une racine double $r_0$. Les solutions de $(\mathrm E_0)$ sont de la forme $x\in {\Bbb R} \mapsto \left(\lambda_1 x+\lambda_2\right)\mathrm e^{r_0 x}$ avec $(\lambda_1,\lambda_2)\in{\Bbb R}^2$.
• Si $\Delta<0$ alors les solutions de $(\mathrm E_0)$ sont de la forme $x\in {\Bbb R} \mapsto \mathrm e^{\alpha x}\left[\mathrm A\cos(\beta x) + \mathrm B\sin(\beta x)\right]$ avec $\rm (A,B)\in{\Bbb R}^2$ et $\alpha=\mathrm{Re}(r)$ et $\beta=\mathrm{Im}(r)$ où $r$ est l'une des racines complexes (non réelles) de l'équation caractéristique.

$\bf 2^{ème}$ étape : on cherche une solution particulière de $(\mathrm E)$. 

Si le second membre est de la forme :

$x \mapsto \mathrm{Ae}^{\lambda x}$ avec $(\mathrm A,\lambda) \in {\Bbb C}^2$. On cherche une solution particulière sous la forme $y_p(x) =\mathrm Q(x)\mathrm e^{\lambda x}$ avec $\mathrm Q$ un polynôme à déterminer. 

Si le second membre est de la forme :

$x \mapsto \mathrm B\cos(\omega x)$ avec $(\mathrm B,\omega) \in {\Bbb R}^2$ ou $x \mapsto \mathrm B\sin(\omega x)$ avec $(\mathrm B,\omega) \in {\Bbb R}^2$ on cherche d'abord une solution particulière complexe $y_{p,c}$ de l'équation  $(\mathrm E_c) : ay''+by'+cy = \mathrm{Be}^{i \omega x}$ puis $\mathrm{Re}(y_{p,c})$ est une solution particulière de $(\mathrm E) : ay''+by'+cy = \mathrm B\cos(\omega x)$ ou $\mathrm{Im}(y_{p,c})$ est une solution particulière de $(\mathrm E) : ay''+by'+cy = \mathrm B\sin(\omega x)$

$\bf 3^{ème}$ étape : les solutions de $(\mathrm E)$ s’obtiennent en additionnant toutes les solutions de $(\mathrm E_0)$ avec une solution particulière de $(\mathrm E)$.

Comme pour le premier ordre, on dispose d'un principe de superposition des solutions :

• Soit $f_1$ une solution de l'$\rm EDL$ $(\mathrm E_1): ay''+by'+cy=\varphi_1(x)$. 
• Soit $f_2$ une solution de l'EDL $(\mathrm E_2): ay''+by'+cy=\varphi_2(x)$.
• Alors $\lambda_1.f_1 + \lambda_2.f_2$ est une solution de
  $(\mathrm E): ay''+by'+cy = \lambda_1 \varphi_1(x) + \lambda_2 \varphi_2(x)$.

Résolvons $(\mathrm E) : y''+ y = \cos x$

Les solutions de $(\mathrm E_0) : y''+y=0$ sont les fonctions du type $x \mapsto \mu_1 \cos x + \mu_2 \sin x$.

On introduit l'équation $(\mathrm E_1): y''+ y = \mathrm e^{ix}$ car $\cos(x) = \mathrm e^{ix}$. 

On cherche une solution particulière de $(\mathrm E_1)$ sous la forme $x \mapsto \mathrm Q(x)\mathrm e^{ix}$.

On a $\begin{array}{lll}
y(x) = \mathrm Q(x)\mathrm e^{ix}\\
y'(x) = \left[\mathrm Q'(x) + i \mathrm Q(x)\right]\mathrm e^{ix}\\
y''(x) = \left[\mathrm Q''(x) + 2i\mathrm Q'(x) - \mathrm Q(x)\right]\mathrm e^{ix}\end{array}$

On a donc $y''(x)+y(x) = \mathrm e^{ix} \iff$ $\, (\star) \, \mathrm Q''(x) + 2i\mathrm Q' = 1$.

On cherche un polynôme de degré $1$: $\mathrm Q(x)=ax+b$ est solution de l'équation $(\star)$ si et seulement si $\forall x \in {\Bbb R}$ : $\displaystyle{2 i a = \iff a=-\frac{i}{2}}$.

Une solution particulière de $(\mathrm E_1)$ est donc $\displaystyle{y: x\mapsto -\frac{i}{2}\mathrm e^{ix}}$. D’après un théorème, $\mathrm{Re}(y)$ une solution particulière de $(\mathrm E)$. 

Or $\displaystyle{\mathrm{Re}(y):x\mapsto \frac{x}{2}\sin x}$.

Les solutions de $(\mathrm E)$ sont toutes les fonctions du type $\displaystyle{x \mapsto \frac{x}{2}\sin x + \mu_1 \cos x + \mu_2 \sin x}$ avec $(\mu_1, \mu_2) \in {\Bbb R}^2$.

Définition : Le problème de Cauchy est un système composé d’une équation différentielle et de conditions initiales :

$\displaystyle \Big\{\matrix{ y’’+a(t)y’+b(t)y=c(t) \mbox{ pour tout } t\in \rm I\\y(t_0)=y_0 \qquad y’(t_0)=y_1 }$

Théorème : Soient $a,b,c $ fonctions continues sur un intervalle $\rm I$, à valeurs complexes. Soit $t_0\in \rm I$ et $(y_0,y_1)\in \mathbb C^2$. 

Alors le problème de Cauchy $\displaystyle \Big\{\matrix{ y’’+a(t)y’+b(t)y(t)=c(t) \mbox{ pour tout } t\in \rm I\\y(t_0)=y_0 \qquad y’(t_0)=y_1 }$
possède une unique solution sur $\rm I$.