Généralités
L’ensemble de définition $\mathscr D_f$ d’une fonction $f$ est l’ensemble de tous les réels $x$ pour lesquels $f(x)$ est calculable.
Parité
- $f$ est paire si, pour tout $x\in \mathscr D_f$, $-x\in \mathscr D_f$ et $f(-x)=f(x)$.
La courbe représentant $f$ est alors symétrique par rapport à l’axe $(\mathrm O,j)$.
Exemple : $f(x)=x^2$. - $f$ est impaire si, pour tout $x\in \mathscr D_f$, $-x\in \mathscr D_f$ et $f(-x)= -f(x)$.
La courbe représentant $f$ est alors symétrique par rapport à $\mathrm O$.
Exemple : $f(x)=x^3$.
Limites
La notation $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=a$ signifie que $f$ admet $a$ pour limite en $x_0$.
Remarque :
$a$ peut désigner un nombre, ou $+\infty$ ou $-\infty$.
Continuité
Définitions :
- Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $x_0$. On dit que $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
- $f$ est continue sur un intervalle $\mathrm I$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $\rm I$.
Dérivation
Définition :
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ contenant $x_0$. $f$ est dérivable en $x_0$ si $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe et est finie.
On a alors $f’(x_0)=\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
Remarque :
Une fonction dérivable en $x_0$ est continue en $x_0$.
Définitions :
- $f$ admet un extremum (maximum ou minimum) local en $x_0$ si et seulement si $f’$ s’annule et change de signe en $x_0$. Il y a donc une tangente horizontale en $x_0$.
- Si $f’(x)\geq 0$ pour tout $x\in\rm I$, alors $f$ est croissante sur $\rm I$.
- Si $f’(x)\leq 0$ pour tout $x\in \rm I$, alors $f$ est décroissante sur $\rm I$.