Généralités
L’ensemble de définition Df d’une fonction f est l’ensemble de tous les réels x pour lesquels f(x) est calculable.
Parité
- f est paire si, pour tout x∈Df, −x∈Df et f(−x)=f(x).
La courbe représentant f est alors symétrique par rapport à l’axe (O,j).
Exemple : f(x)=x2. - f est impaire si, pour tout x∈Df, −x∈Df et f(−x)=−f(x).
La courbe représentant f est alors symétrique par rapport à O.
Exemple : f(x)=x3.
Limites
La notation limx→x0f(x)=a signifie que f admet a pour limite en x0.
Remarque :
a peut désigner un nombre, ou +∞ ou −∞.
Continuité
Définitions :
- Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant x0. On dit que f est continue en x0 si et seulement si limx→x0f(x)=f(x0)
- f est continue sur un intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de I.
Dérivation
Définition :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I contenant x0. f est dérivable en x0 si limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 existe et est finie.
On a alors f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0.
Remarque :
Une fonction dérivable en x0 est continue en x0.
Définitions :
- f admet un extremum (maximum ou minimum) local en x0 si et seulement si f′ s’annule et change de signe en x0. Il y a donc une tangente horizontale en x0.
- Si f′(x)≥0 pour tout x∈I, alors f est croissante sur I.
- Si f′(x)≤0 pour tout x∈I, alors f est décroissante sur I.