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Étude de fonctions réelles

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Méthode 1 : Étudier des fonctions d’une variable réelle

Généralités

L’ensemble de définition Df d’une fonction f est l’ensemble de tous les réels x pour lesquels f(x) est calculable.

Parité

  • f est paire si, pour tout xDf, xDf et f(x)=f(x).
    La courbe représentant f est alors symétrique par rapport à l’axe (O,j).
    Exemple : f(x)=x2.
  • f est impaire si, pour tout xDf, xDf et f(x)=f(x).
    La courbe représentant f est alors symétrique par rapport à O.
    Exemple : f(x)=x3.

Limites

La notation limxx0f(x)=a signifie que f admet a pour limite en x0.

Remarque :

a peut désigner un nombre, ou + ou .

Continuité

Définitions :

  • Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant x0. On dit que f est continue en x0 si et seulement si limxx0f(x)=f(x0)
  • f est continue sur un intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de I.

Dérivation

Définition :

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I contenant x0. f est dérivable en x0 si limxx0f(x)f(x0)xx0 existe et est finie. 

On a alors f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0.

Remarque :

Une fonction dérivable en x0 est continue en x0.

Définitions :

  • f admet un extremum (maximum ou minimum) local en x0 si et seulement si f s’annule et change de signe en x0. Il y a donc une tangente horizontale en x0.
  • Si f(x)0 pour tout xI, alors f est croissante sur I.
  • Si f(x)0 pour tout xI, alors f est décroissante sur I.

Méthode 2 : Étudier des fonctions usuelles

Fonction valeur absolue : définie sur $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb R^+$, $f(x)=|x|$.

  • Si $x$ est positif, $f(x)=x$.
  • Si $x$ est négatif, $f(x)=-x$.

Fonction exponentielle : définie sur $\mathbb R$, $\exp’(x)=\exp(x)=\mathrm e^x$

Propriétés

  • Pour tous réels $a$ et $b$, $\mathrm e^a\mathrm e^b=\mathrm e^{a+b}$
  • Pour tout réel $a$, $\displaystyle \mathrm e^{-a}=\frac{1}{\mathrm e^a}$
  • Pour tout réel $a$, $\mathrm e^a>0$ 
  • $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\exp(h)-1}{h}=1$
  • La dérivée de $\mathrm e^{u(x)}$ (si $u$ est dérivable) est égale à $u’(x)\mathrm e^{u(x)}$
  • $e^x\geq 1+x$

Fonction logarithme népérien : définie sur $]0~ ;+\infty[$, $\ln’(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$.

Propriétés :

  • Pour $a,b>0$, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ et $\ln \left(\displaystyle\frac{1}{b}\right)=-\ln(b)$ 
  • Pour tout $x\in ]0~ ;+\infty[$, $\mathrm e^{\ln(x)}=x$ et pour tout $x\in\mathbb R$, $\ln(\mathrm e^x)=x$.
  • $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$
  • La dérivée de $\ln(u(x))$ (si $u$ est strictement positive et dérivable) est égale à $\displaystyle\frac{u’(x)}{u(x)}$
  • $\ln(1+x)\leq x$

Croissances comparées : Pour les calculs de limites, en cas de formes indéterminées, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance et toute puissance l’emporte sur le logarithme népérien.

Fonction Arcsinus : définie sur $[-1 ;1]$ à valeurs dans $[-\pi/2~ ;\pi/2]$.

Propriétés :

  • La fonction Arcsinus est la bijection réciproque de la fonction sinus restreinte à l’intervalle $[-\pi/2~ ;\pi/2]$.
  • Sur $]-1~ ;1[$, $\mbox{arcsin}’(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • La fonction Arcsinus est impaire et croissante.

Fonction Arccosinus : définie sur $[-1 ;1]$ à valeurs dans $[0~ ;\pi]$.

Propriétés :

  • La fonction Arccosinus est la bijection réciproque de la fonction cosinus restreinte à l’intervalle $[0~ ; \pi]$.
  • Sur $]-1 ~;1[$, $\mbox{arccos}’(x)=\displaystyle\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • La fonction Arccosinus est décroissante.

Fonction Arctangente : définie sur $\mathbb R$ à valeurs dans $]-\pi/2~ ;\pi/2[$.

Propriétés :

  • La fonction Arctangente est la bijection réciproque de la fonction tangente restreinte à l’intervalle $]-\pi/2~ ;\pi/2[$.
  • Sur $\mathbb R$, $\mbox{arctan}’(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}$
  • La fonction Arctangente est impaire et croissante.

Fonctions hyperboliques : elles sont définies sur $\mathbb R$.
$ch(x)=\displaystyle\frac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}{2}$
$sh(x)=\displaystyle\frac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}{2}$
$th(x)=\dfrac{sh (x)}{ch (x)}$

Dérivées : Pour tout $x\in\mathbb R$,
$ch’(x)=sh(x)$
$sh’(x)=ch(x)$
$th’(x)=1-th^2(x)=\dfrac{1}{ch^2(x)}$

Propriété : Pour tout $x\in\mathbb R$,
$ch^2(x)-sh^2(x)=1$

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