Définition :
Soit $f: \rm I \rightarrow {\Bbb R}$ une fonction définie sur l'intervalle $\rm I$. Une primitive de $f$ est une fonction $\rm F$ vérifiant :
- $\rm F$ est dérivable sur $\rm I$
- $\mathrm F'=f$
Remarques :
Notons qu'une primitive d'une fonction sur un intervalle $\rm I$ n'est définie qu'à une constante près. En effet, si $\rm F$ et $\rm G$ sont deux primitives d'une même fonction $f$ alors $\rm (F-G)'=F'-G'=f-f=0$ sur l'intervalle $\rm I$ de sorte que $\rm F-G$ est une fonction constante.
Une primitive de la fonction $f$ se note $\displaystyle \mathrm F=\int f$ ou $\displaystyle\mathrm F(x) = \int f(x){\rm d}x$. Le symbole est le même que celui pour l'intégrale mais sans borne.
Attention : Une primitive est une fonction mais une intégrale est un nombre réel !
Géométriquement, $\displaystyle{\int_a^bf(t){\rm d}t}$ mesure l'aire algébrique délimitée entre les droites verticales $x=a$, $x=b$, la courbe $y=f(x)$ et l'axe des abscisses.
L'adjectif algébrique signifie que la portion de surface en dessous de l'axe des abscisses est comptée négativement alors que celle au-dessus de l'axe des abscisses est comptée positivement.
Exemple : La primitive de $x\to 1/x$ :
$\int \frac{{\rm d}x}{x} = \left\{\begin{array}{lll}
\ln x + k_1 \text{ sur l'intervalle } ]0,+\infty[ \\
\ln(-x) + k_2 \text{ sur l'intervalle } ]-\infty,0[
\end{array}\right.$ où $k_1$ et $k_2$ désignent deux constantes réelles.
Fonctions | Primitives |
$x\mapsto x^n$ | $x\mapsto x^{n+1}/(n+1)$ |
$x\mapsto \mathrm e^x$ | $x\mapsto \mathrm e^x$ |
$x\mapsto 1/x$ | $x\mapsto \ln |x|$ |
$x\mapsto \cos(x)$ | $x\mapsto \sin(x)$ |
$x\mapsto \sin(x)$ | $x\mapsto -\cos(x)$ |
$x\mapsto 1/\cos^2(x)$ | $x\mapsto \tan(x)$ |
$x\mapsto 1/(1+x^2)$ | $x\mapsto \mathrm{Arctan}(x)$ |
$x\mapsto 1/\sqrt{1-x^2}$ | $x\mapsto \mathrm{Arcsin}(x)$ |