Définition :
Soit f:I→R une fonction définie sur l'intervalle I. Une primitive de f est une fonction F vérifiant :
- F est dérivable sur I
- F′=f
Remarques :
Notons qu'une primitive d'une fonction sur un intervalle I n'est définie qu'à une constante près. En effet, si F et G sont deux primitives d'une même fonction f alors (F−G)′=F′−G′=f−f=0 sur l'intervalle I de sorte que F−G est une fonction constante.
Une primitive de la fonction f se note F=∫f ou F(x)=∫f(x)dx. Le symbole est le même que celui pour l'intégrale mais sans borne.
Attention : Une primitive est une fonction mais une intégrale est un nombre réel !
Géométriquement, ∫baf(t)dt mesure l'aire algébrique délimitée entre les droites verticales x=a, x=b, la courbe y=f(x) et l'axe des abscisses.
L'adjectif algébrique signifie que la portion de surface en dessous de l'axe des abscisses est comptée négativement alors que celle au-dessus de l'axe des abscisses est comptée positivement.
Exemple : La primitive de x→1/x :
∫dxx={lnx+k1 sur l'intervalle ]0,+∞[ln(−x)+k2 sur l'intervalle ]−∞,0[ où k1 et k2 désignent deux constantes réelles.
Fonctions | Primitives |
x↦xn | x↦xn+1/(n+1) |
x↦ex | x↦ex |
x↦1/x | x↦ln|x| |
x↦cos(x) | x↦sin(x) |
x↦sin(x) | x↦−cos(x) |
x↦1/cos2(x) | x↦tan(x) |
x↦1/(1+x2) | x↦Arctan(x) |
x↦1/√1−x2 | x↦Arcsin(x) |