Soit une fonction de transfert en boucle \textbf{ouverte} écrite sous forme canonique:
$\rm FTBO(p)=\dfrac{G(p)}{p^{\alpha}(1+b_{1}p+...+b_{n}p^{n})}$
On rappelle que :
- $\alpha$ est la classe du système.
- $\alpha+n$ est l'ordre du système, c'est-à-dire la puissance du monôme de plus haut degré au dénominateur.
$\rm G(p)$ est un polynôme et on suppose que la fraction est supposée irréductible. L'objectif est de calculer les asymptotes du diagramme de Bode en gain et en phase de $\rm FTBO(p)$. Pour cela on rappelle qu'en analyse fréquentielle si l'entrée du système est sinusoïdale de pulsation $\omega$, la sortie est aussi sinusoïdale.
On pose alors $p=j\omega$ où $j$ est le nombre complexe tel que $j^{2}=-1$ et on redonne les définitions de gain et de phase :
$\rm G_{dB}(\omega)=20.\log_{10}\left(\left| FTBO(j\omega) \right|\right)$
$\rm \varphi(\omega)=Arg\left(FTBO(j\omega)\right)$
On suppose qu'il existe une pulsation propre $\omega_{0}$ telle que $\rm FTBO(j\omega)$ est une fraction de polynômes en $\dfrac{\omega}{\omega_{0}}$, par exemple si on donne la $\rm FTBO$ :
$\rm FTBO(j\omega)=\dfrac{K}{1+j2z\dfrac{\omega}{\omega_{0}}-\left(\dfrac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}}$
C'est une fonction de transfert en boucle ouverte d'un système d'ordre 2, de pulsation propre $\omega_{0}$ et d'amortissement $z$, le dénominateur est un polynôme en $\dfrac{\omega}{\omega_{0}}$. Pour calculer les asymptotes:
Étape 1 : Calculer $G_{dB}(\omega)$ et $\varphi(\omega)$.
Étape 2 : Supposer $\dfrac{\omega}{\omega_{0}}<<1$, on élimine donc les termes de plus haut degré, l'expression qui reste donne la pente ou la valeur du gain/phase en basse fréquence.
Étape 3 : Supposer $\dfrac{\omega}{\omega_{0}}>>1$, on élimine donc les termes de plus bas degré, l'expression qui reste donne la pente ou la valeur du gain/phase en haute fréquence.
Remarque : Le cas $\omega=\omega_{0}$ donne les valeurs particulières de gain et phase à la pulsation propre, il peut être intéressant de calculer ce terme si on demande un tracé précis du diagramme de Bode.