Soit E un espace préhilbertien réel de produit scalaire (⋅|⋅).
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien E. On a : E=F⨁F⊥.

Remarque :

F⊥={x∈E/pour tout y∈F,(y|x)=0} est le supplémentaire orthogonal de F, c’est-à-dire F+F⊥=E, F∩F⊥={0E} et pour tout (x,y)∈F×F⊥,(x|y)=0 (vecteurs orthogonaux).

Méthode 1 : Etudier une projection orthogonale

  • Utiliser la définition :

La projection orthogonale sur F est la projection pF sur F parallèlement à F⊥.

  • Utiliser l’expression dans une base orthonormale :

Soit (e0,…,en) base orthonormale du sous-espace vectoriel F.
Pour tout x∈E, pF(x)=n∑k=0(ek|x)ek.

  • Etudier une suite orthonormale de vecteurs :

Soit (ek)k∈N une suite orthonormale totale d’éléments de E.
Soit pn le projecteur orthogonal de E sur Vect(e0,…,en) pour tout n∈N.
Alors, pour tout x∈E, (pn(x))n∈N converge vers x.

Remarque :

(ek)k∈N suite de vecteurs de E est totale si ¯Vect{en/n∈N}=E.

Corollaire :

Si (ek)k∈N suite orthonormale totale d’éléments de E, alors pour tout x∈E, x=+∞∑k=0(ek|x)ek.

Méthode 2: Etudier des matrices orthogonales

Définitions : Une matrice orthogonale de taille n est une matrice de Mn(R) vérifiant MtM=In.

L’ensemble des matrices orthogonales de taille n forme un groupe appelé groupe orthogonal et noté On(R). C’est un sous-groupe de GLn(R).

Propriétés : Une matrice est orthogonale si et seulement si ses lignes forment une base orthonormale de Rn.

Le déterminant d’une matrice orthogonale vaut 1 ou -1.

Une matrice orthogonale est positive (ou directe)  si son déterminant est égal à 1 et négative (ou indirecte) si son déterminant est égal à -1.

Définition : L’ensemble des matrices orthogonales positives forme un groupe appelé le groupe spécial orthogonal et noté SOn(R).

Cas particulier : la dimension 2

Les matrices orthogonales positives sont de la forme  (cosθsinθsinθcosθ) avec θ∈R.

Les matrices orthogonales négatives sont de la forme  (cosθsinθsinθ−cosθ)    avec θ∈R.

 

Méthode 3 : Etudier une isométrie vectorielle

Soit E un espace euclidien (= espace préhilbertien réel de dimension finie) de dimension n∈N∗.

Définition :

Une isométrie vectorielle (aussi appelée automorphisme orthogonal d’un espace euclidien) de E est un endomorphisme u conservant la norme c’est-à-dire pour tout x∈E, ‖u(x)‖=‖x‖.

L'ensemble des isométries de E est un groupe, appelé groupe orthogonal et noté O(E).

Théorème :

Soit u endomorphisme de E. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

    1. u est orthogonal
    2. u conserve le produit scalaire : pour tous x,y∈E, (u(x)|u(y))=(x|y).

Théorème :

Soient u endomorphisme de E et e=(e1,…,en) une base orthonormale de E. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

    1. u est orthogonal
    2. La famille (u(e1),…,u(en)) est une base orthonormale
    3. Mateu∈On(R)

Exemples:

Une symétrie orthogonale est une symétrie s  telle que ker(s−IdE) et ker(s+IdE)

 soient orthogonaux.

Une symétrie est une isométrie vectorielle si et seulement si c'est une symétrie orthogonale.

Une  réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.

Définition :

Une isométrie directe (ou positive) est une isométrie vectorielle de déterminant 1. Dans le cas contraire (déterminant =−1), on parle d’isométrie indirecte (ou négative).

L'ensemble des isométries positives de E est un groupe, appelé groupe spécial orthogonal et noté SO(E).

Théorème de réduction :

Une isométrie directe (différente de l’identité) peut être représentée dans une base orthonormale (→u,→v,→w) par la matrice (1000cosθ−sinθ0sinθcosθ)

L’isométrie correspond à la rotation d’axe dirigé et orienté par →u et d’angle θ.