Propagation et rayonnement

Comment étudier la propagation d’une onde électromagnétique (Oém) ?

1. Dresser l’équation de propagation à partir des équations de Maxwell et des éventuels compléments donnés dans l’énoncé
2. Résoudre l’équation de propagation aux dérivées partielles en proposant des solutions sous forme de (pseudo) ondes planes progressives harmoniques
3. Établir la relation de dispersion en remplaçant l’expression de la solution dans l’équation de propagation
4. Mettre le nombre d’onde, $\underline k$ (à priori complexe) sous sa forme algébrique grâce à la relation de dispersion : $\underline k = k_1+ik_2$ 
5. Déterminer la distance caractéristique de propagation $\delta=\frac{1}{ \lvert k_2 \rvert }$.
6. Déterminer la vitesse de phase $v_ \phi = \frac{\omega}{\lvert k_1 \rvert }$.
7. Déterminer la vitesse de groupe $v_ g = \frac{d \omega}{d k_1 }$. La vitesse de groupe correspond à la vitesse de transmission de l’information et de l’énergie.
8. Exprimer la puissance moyenne transportée par l’onde au cours de sa propagation en utilisant le vecteur de Poynting et la relation de structure.

 Qu’est-ce que le modèle du dipôle oscillant ?

Il s’agit d’un modèle décrivant les effets du mouvement oscillatoire d’un dipôle électrique. Le modèle est basé sur les hypothèses suivantes :

1. On travaille avec un dipôle électrique variable dans le temps tel que son moment dipolaire oscille sinusoïdalement $\vec p= \vec{p_0} cos(\omega t)$
2. On fait l’hypothèse que $a<<\lambda$ avec $a$ la taille du dipôle
3. On étudie le dipôle dans la zone de rayonnement, c’est-à-dire $\lambda< < r$

Comment analyser la structure du champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant ?

Les expressions du champ électromagnétique ne sont pas exigibles, mais il faut pouvoir les commenter ainsi :

1. On se place en coordonnées sphériques.
2. On étudie les invariances et symétrie pour en déduire que $E$ et $B$ ne dépendent que de $r$ et $\theta$ et que $\vec B = B\vec{e_\phi}$.
3. L’hypothèse $r>>\lambda$ nous permet de considérer que l’on a localement une structure d’onde plane progressive. On a donc $\vec k = k \vec {e_r}$ et $\vec B = \frac{\vec{e_r} \land \vec E}{c}$
4. $\vec E = cB \vec{e_\theta}$
5. La conservation de l’énergie nous donne que l’amplitude de $E$ décroit en $1/r$.
6. Le champ électrique produit est polarisé rectilignement selon $\vec{e_ \theta}$.

Quelques exemples d’application

Le modèle du dipôle rayonnant est notamment utilisé pour étudier le fonctionnement des antennes dipolaires, le rayonnement synchrotron ou encore la diffusion de Rayleigh. À noter que la diffusion de Rayleigh permet d’expliquer pourquoi le ciel est bleu.