Topologie des espaces vectoriels normés

Soit $\rm E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel avec $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

Méthode 1 : Etudier une norme

• Utiliser la définition :

Soit l’application : $\mathrm{\|\cdot\|:E\to \mathbb R^+}$.

$\|\cdot\|$ est une norme si :

• Pour tout $x \in \rm E$, $\|x\|=0 \Rightarrow x=0_{\rm E}$
• Pour tout $\lambda \in \mathbb K$, pour tout $x\in \rm E$, $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$
• Pour tous $x, y\in \rm E$, $\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$.

$\mathrm{(E,\|\cdot\|)}$ est alors appelé espace vectoriel normé.

Théorème : Inégalité triangulaire :

Pour tous $x,y\in E$, $||x+y||\leq ||x||+||y||$ avec égalité si et seulement s’il existe $\lambda \in\mathbb R^+$ tel que $y=\lambda x$  ou $x=\lambda y$ ($x$ et $y$ sont dits positivement liés).

Remarque: $x\in E$ est unitaire si $||x||=1$.

• Définir une norme à partir d’un produit scalaire

Soit $E$ un espace préhilbertien, muni du produit scalaire $(\cdot|\cdot)$.

En posant : pour tout $x\in E$, $||x||=\sqrt{(x|x)}$, on définit une norme sur $E$.

• Reconnaître des normes usuelles :

• Sur $\mathbb R$, la valeur absolue est une norme
• Sur $\mathbb C$, le module est une norme
• Sur $\rm \mathbb K^n$, $\|\cdot\|_1$, $\|\cdot\|_2$ et $\|\cdot\|_{\infty}$ sont des normes avec :

$$\begin{array}{ll}
\|x\|_1=|x_1|+\ldots+|x_\mathrm n| \\
\displaystyle \|x\|_2=\sqrt{|x_1|^2+\ldots+|x_\mathrm n|^2} \\
\|x\|_{\infty}=\text{max}\{|x_1|,\ldots,|x_{\rm n}|\}
\end{array}$$

Avec $x=(x_1,\ldots,x_{\rm n})$

• Sur $\mathrm{B(X,\mathbb K)}$ (ensemble des fonctions définies sur $\mathrm{X}$, non vide, à valeurs dans $\mathbb K$, bornées), $\|\cdot\|_{\infty}$ est une norme avec $\|f\|_{\infty}=\sup_{x\in \mathrm X}|f(x)|$ (norme de la convergence uniforme)
• Sur $\mathrm{C([a~ ;b],\mathbb K)}$ (espace des fonctions continues de $\mathrm{[a,b]}$ vers $\mathbb K$), $\|\cdot\|_{\infty}$, mais aussi $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont des normes avec :
  $\displaystyle \|f\|_1=\mathrm{\int_a^b} |f(\mathrm{t)|dt}$
  $\displaystyle \|f\|_2=\bigg(\mathrm{\int_a^b} |f(\mathrm t)|^2\rm dt\bigg)^{1/2}$
  (normes de la convergence en moyenne et en moyenne quadratique).

• Identifier une norme sur un produit d’espaces normés :

Soient $\mathrm{(E_1,\|\cdot\|_1), \ldots, (E_r,\|\cdot\|_r)}$ des espaces normés.
On note $\mathrm{E=E_1\times\ldots\times E_r}$.
Soit $x=(x_1,\ldots,x_{\rm r})\in \rm E$.
$\displaystyle \|x\|=\text{max}_{1\leq \mathrm{i \leq r}}\|x_{\rm i}\|$
$\mathrm{\|\cdot\|}$ est une norme sur $\mathrm{E}$.

Méthode 2: Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé

Soit $E$ un espace vectoriel muni de la norme $|| \cdot ||$.

Définitions:

Une suite d’éléments $(u_n)$ de $E$ converge vers $l\in E$ si

$\displaystyle|| u_n-l ||\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$.

Une suite qui n'est convergente vers aucun $l\in E$ est appelée divergente.

Théorème : Si $(u_n)$ est une suite convergente vers $l$, $l$ est appellé limite de la suite $(u_n)$ et est unique.

Proposition : Toute suite convergente est bornée.

Proposition : Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites de $E$ convergeant respectivement vers $l_1$ et vers $l_2$, alors pour tous $\alpha, \beta \in \mathbb $, $(\alpha u_n+\beta v_n)$ converge vers $\alpha l_1+\beta l_2$.

Propriété: La convergence d’une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie équivaut à celle de chacune de ses coordonnées dans une base.

Définition: $l$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$ s'il existe une suite extraite de $(u_n)$ qui converge vers $l$.

Théorème: Une suite ayant au moins deux valeurs d’adhérence diverge.

Théorème: Une suite bornée d’un espace normé de dimension finie converge si et seulement si elle a une unique valeur d’adhérence.

Méthode 3 : Comparer des normes

• Une norme $\|\cdot\|_1$ sur $\rm E$ est dominée par une norme $\|\cdot\|_2$ s’il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $x \in \rm E$, $\|x\|_1\leq \alpha \|x\|_2$
• Deux normes $\mathrm{\|\cdot\|_1}$ et $\mathrm{\|\cdot\|_2}$ sur $\mathrm{E}$ sont équivalentes si chacune est dominée par l’autre : il existe $\mathrm{\alpha,~\beta>0}$ tels que pour tout $x\in \rm E$, $\alpha \|x\|_2 \leq \|x\|_1\leq \beta \|x\|_2$

Théorème :

Sur un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, les normes sont deux à deux équivalentes.

Théorème :

Deux normes équivalentes définissent les mêmes suites convergentes qui ont même limite pour les deux normes.

Remarque :

On peut montrer que deux normes ne sont pas équivalentes en trouvant une suite convergente pour une norme mais divergente pour l’autre ou une suite qui converge pour ces deux normes mais vers des limites différentes.

Soit $\mathrm{E}$ un $\mathbb K$-espace vectoriel normé avec $\mathrm{\mathbb K=\mathbb R}$ ou $\mathrm{\mathbb C}$.

Méthode 1 : Montrer que $\bf{U}$ est un ouvert de $\bf{E}$

• Utiliser la définition :

Une partie $\rm U$ de $\rm E$ est un ouvert de $\rm E$ si elle est voisinage de chacun de ses points c’est-à-dire : pour tout $\mathrm{a\in U}$, il existe $\alpha>0$ tel que $\mathrm{B(a,\alpha)\subset U}$.

Rappel :

$$\mathrm{B(a,\alpha)}=\{x\in \mathrm E/\|x-\rm a\|<\alpha\}$$

• Reconnaître des ouverts connus :

• $\emptyset$ et $\rm E$ sont des ouverts de $\rm E$
• Si $\mathrm{E=\mathbb R}$, les intervalles ouverts sont des ouverts de $\mathrm{E}$
• Dans $\mathbb R^2$, le produit cartésien de deux intervalles ouverts de $\mathbb R$ est un ouvert de $\mathbb R^2$
• Une boule ouverte $\mathrm{B(a,\alpha)}$ est un ouvert

• Utiliser les propriétés :

• Une réunion (finie ou infinie) de parties ouvertes est une partie ouverte.
• Une intersection finie de parties ouvertes est une partie ouverte.

Méthode 2 : Montrer que $\bf F$ est un fermé de $\bf E$

• Utiliser la définition :

Une partie $\mathrm{F}$ de $\mathrm{E}$ est un fermé de $\mathrm{E}$ si son complémentaire est un ouvert.

• Reconnaître des fermés connus :

• $\emptyset$ et $\mathrm{E}$ sont des fermés de $\mathrm{E}$
• Si $\mathrm{E=\mathbb R}$, les intervalles fermés sont des fermés de $\mathrm{E}$
• Dans $\mathrm{\mathbb R^2}$, le produit cartésien de deux intervalles fermés de $\mathrm{\mathbb R}$ est un fermé de $\mathrm{\mathbb R^2}$
• Une boule fermée $\mathrm B_f(\rm a,\alpha)$ est un fermé ($\mathrm B_f(\rm a,\alpha)$ $=\{x\in \mathrm E/\|x-\rm a\|\leq\alpha\})$
• Une sphère est un fermé $(\mathrm{S(a,\alpha)}=\{x\in \mathrm E/\|x-\mathrm a\|=\alpha\})$

• Utiliser les propriétés :

• Une intersection (finie ou infinie) de parties fermées est une partie fermée.
• Une réunion finie de parties fermées est une partie fermée.

• Utiliser les suites :

Théorème :

Soit $\mathrm{F}$ partie de $\mathrm{E}$. Les propositions suivantes sont équivalentes :

1. $\mathrm{F}$ est fermée
2. Pour toute suite $(x_{\rm n})\in \mathrm F^{\mathbb N}$ telle que $x_{\rm n}\to \rm a$, alors $\mathrm{a\in F}$

On dit qu’une partie fermée contient les limites de ses suites convergentes.

Méthode 3: Déterminer intérieur et adhérence

• Utiliser les définitions:

Un point $x$ est un point intérieur à une partie $I$ de $E$ si $I$ est un voisinage de $x$, c'est-à-dire s'il existe $r>0$ tel que la boule de centre $x$ et de rayon $r$ est contenue dans $I$.

L’intérieur de $I$ est l’ensemble des points intérieurs à $I$.

Un point $x$ est un point adhérent à une partie $A$ de $E$ si toute boule de centre $x$ possède un point dans $A$.

L’adhérence de $A$ notée $\bar{A}$ est l’ensemble des points adhérents à $A$.

Remarque : la frontière de $A$ correspond à l’adhérence de $A$ privée de l’intérieur de $A$.

• Utiliser les propriétés

L’intérieur de $I$ est le plus grand ouvert contenu dans $I$.

L’adhérence de $A$ est le plus petit fermé contenant $A$.

Caractérisation séquentielle : $x$ est un point adhérent à $A$ si, et seulement si, il existe une suite de points de $A$ qui converge vers $x$.

Méthode 4 : Utiliser la continuité

Soient $(E,∥\cdot∥)$ et $(F,∥\cdot∥)$ deux espaces vectoriels normés, soit $X$ une partie de $E$ et $f:X\to F$ une fonction.

Définition : Soit $a$ un point adhérent à $X$ ($a\in \bar{X})$.

$f$ admet une limite en $a$ s'il existe $l\in F$  tel que, pour tout $\epsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $x\in B(a,\delta)\cap X$, on a $∥f(x)−l∥<\epsilon$.

Si $f$ admet une limite en $a$, cette limite est unique.

Caractérisation séquentielle : $f$ admet pour limite $l$ en $a\in\bar{X}$ si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ de $X$ qui converge vers $a$, alors $(f(x_n))$ converge vers $l$.

Définition : $f$ est continue en $a\in X$ si $f$ admet une limite $l$ en $a$.

Dans ce cas, $l=f(a)$.

$f$ est continue sur $X$ si elle est continue en chaque point de $X$.

Caractérisation séquentielle : $f$ est continue en $a\in X$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ de $X$ qui tend vers $a$, alors $(f(x_n))$ tend vers $f(a)$.

Théorème :

Les propositions suivantes sont équivalentes :

• $f$ est continue
• L’image réciproque de chaque ouvert de $\mathrm{F}$ est un ouvert relatif à $\rm X$
• L’image réciproque de chaque fermé de $\mathrm{F}$ est un fermé relatif à $\rm X$

Remarque :

Un ouvert relatif à $\mathrm{X}$ est un ensemble de la forme $\mathrm{U\cap X}$ avec $\mathrm{U}$ ouvert de $\mathrm{E}$. Un fermé relatif à $\mathrm{X}$ est un ensemble de la forme $\mathrm{F\cap X}$ avec $\mathrm{F}$ fermé de $\mathrm{E}$.

Théorème :

Soient $f, g : \rm E\to F$ continues.

Si $f$ et $g$ sont égales sur une partie $\mathrm{X}$ de $\mathrm{E}$ dense, alors $f=g$.

Remarque :

Une partie $\mathrm{X}$ de $\mathrm{E}$ est dense si $\mathrm{\bar{X}=E}$ avec $\mathrm{\bar{X}}$ l’adhérence de $\mathrm{X}$.

Continuité d’une application linéaire entre deux espaces normés :

$u \in\mathcal L (E,F)$ est continue si et seulement s’il existe $C\in\mathbb R^+$ tel que $\forall x\in E$, $||u(x)||\leq C||x||$.

L’ensemble des applications linéaires continues entre $E$ et $F$ est noté $\mathcal L_c(E,F)$.

Théorème: Si $E$ est de dimension finie, $\mathcal L(E,F) =\mathcal L_c(E,F)$.

Définition: On définit la norme subordonnée (ou norme d’opérateur) d’une application linéaire continue $u\in\mathcal L_c(E,F)$ par:

$ |||u|||=\displaystyle\sup_{x\neq 0}\frac{||u(x)||}{||x||}$

Propriété: La norme subordonnée définit une norme sur $\mathcal L_c(E,F)$.

Soit $\mathrm{K}$ partie de $\mathrm{E}$, espace vectoriel.

Méthode 1 : Montrer que $\bf{K}$ est un compact

• Utiliser la propriété de Bolzano-Weierstrass:

$\mathrm{K}$ est un compact de $\mathrm{E}$ si toute suite d’éléments de $\mathrm{K}$ possède au moins une valeur d’adhérence dans $\mathrm{K}$ c’est-à-dire pour tout $\mathrm{(u_n)\in K^{\mathbb N}}$, il existe $\mathrm{\varphi:\mathbb N\to \mathbb N}$ strictement croissante telle que $\mathrm{u_{\varphi(n)}\to l\in K}$.

Remarques :

• $\mathrm{(u_{\varphi(n)})}$ est une suite extraite de $\mathrm{\mathrm{(u_n)}}$.
• Toute suite bornée d’éléments de $\mathbb K$ admet au moins une valeur d’adhérence.

• Reconnaître des compacts connus :

• Si $\mathrm{\mathrm{E=\mathbb R}}$, les intervalles $\mathrm{\mathrm{[a,b]}}$ sont des compacts.
• Si $\mathrm{\mathrm{E=\mathbb C}}$, les ensembles $\mathrm{\mathrm{\{z\in\mathbb C/|z|\leq R\}}}$ sont des compacts.

• Utiliser les propriétés sur les compacts :

• Toute partie compacte est fermée et bornée.
• Une intersection de deux parties compactes est un compact.
• Une réunion de deux parties compactes est un compact.

Soient $\mathrm{K_1}$ et $\mathrm{K_2}$ deux parties compactes des espaces normés $\mathrm{E_1}$ et $\mathrm{E_2}$.
$\mathrm{K_1\times K_2}$ est une partie compacte de $\mathrm{E_1\times E_2}$.

• Utiliser la dimension finie :

Théorème :

En dimension finie, une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Méthode 2 : Utiliser les conséquences de la compacité

Théorème 1 :

Une suite bornée d’un espace normé de dimension finie converge si et seulement si elle a une unique valeur d’adhérence.

Théorème 2 :

Un sous-espace de dimension finie d’un espace normé est fermé.

Théorème 3 :

L’image d’une partie compacte par une application continue est une partie compacte.

Théorème 4 :

Toute fonction réelle définie et continue sur un compact non vide est bornée et atteint ses bornes.

Théorème de Heine :

Soit $f : \rm K\subset E\to F$.
Si $\mathrm{K}$ est une partie compacte et si $f$ est continue, alors $f$ est uniformément continue.

Remarque :

Une application $f : \rm K\subset E\to F$ est uniformément continue si pour tout $\epsilon >0$, il existe $\alpha>0$ tel que pour tous $x,y\in \rm K$, $\|y-x\|_\mathrm E\leq \alpha \Rightarrow \|f(y)-f(x)\|_\rm F\leq \epsilon$.

Méthode 3 : Etudier la connexité par arcs

Soit $(E,||\cdot||)$ un espace vectoriel normé.

Définition: Soit $A$ une partie de $E$, et $ x,y\in A$.

Un  chemin (ou arc) joignant deux points $x$ et $y$ est une application continue

$ f:[0,1]\to A$ vérifiant $f(0)=x$ et $f(1)=y$.

Définition: Une partie $A$ de $E$ est connexe par arcs si, pour tous $x,y\in A$, il existe un chemin joignant $x$ et $y$ dans A.

Propriétés: Toute partie convexe est connexe par arcs.

Toute partie étoilée est connexe par arcs.

Théorème : Les parties connexes par arcs de $\mathbb R$ sont les intervalles.

Théorème : Soit $f:A\subset E \to F$ fonction continue.

Si $A$ est une partie connexe par arcs, alors $f(A)$ est connexe par arcs.