Stabilité des systèmes asservis

Sur un diagramme de Bode, un système est stable si lorsque la phase de la $\rm FTBO$ est à $-180°$ alors le gain en $\rm dB$ est négatif. On peut alors définir 2 marges de sécurité afin de s’assurer de la stabilité du système malgré la présence de perturbations non prises en compte lors de la modélisation.

On rappelle tout d’abord la définition de marge de phase $\rm M_{\varphi}$ pour une fonction de transfert en boucle ouverte $\rm FTBO(j\omega) (j^{2}=-1)$ :

$\rm M_{\varphi} = 180 + Arg(FTBO(j\omega_{c0}))>0$ ET $\rm 20.\log|FTBO(j\omega_{c0})|=0$

« Lorsque le gain est nul, on regarde la distance entre $-180^{\circ}$ et la phase. »

On rappelle aussi la définition de marge de gain :

$\rm M_{G} = -20.log|FTBO(j\omega_{180})|>0$ ET $\rm Arg(FTBO(j\omega_{180}))=-180°$

« Lorsque la phase est à $-180°$ on regarde la valeur du gain en $\rm dB$. »

On peut déduire sans calcul la valeur de la marge de gain pour un système d'ordre 1 ou 2 : $\rm M_{G}=+\infty$ puisqu'on n'atteint jamais $-180°$.

Si le diagramme de Bode de la $\rm FTBO$ n’est pas donné, alors les définitions des marges donnent la méthode à suivre pour vérifier si elles sont satisfaites :

Pour $\rm M_{\varphi}$ : Calculer $\rm \omega_{c0}$ tel que $\rm 20.\log|FTBO(j\omega_{c0})|=0$ et en déduire $\rm Arg(FTBO(j\omega_{c0}))+180$, vérifier que cette valeur est au dessus du $\rm M_{\varphi}$ du cahier des charges.

Pour $\rm M_{G}$ : Calculer $\omega_{180}$ tel que $\rm Arg(FTBO(j\omega_{180}))=-180°$ et en déduire $\rm -20.\log|FTBO(j\omega_{180})|$, vérifier que cette valeur est au-dessus du $\rm M_{G}$ du cahier des charges.

En général, des valeurs acceptables de marges sont $\rm M_{\varphi} \in [45°, 60°]$ et $\rm M_{G} \in [10~dB,15~dB]$.

Sur un diagramme de Bode, un système est stable si lorsque la phase de la $\rm FTBO$ est à $-180°$ alors le gain en dB est négatif. On rappelle qu’une fonction de transfert en boucle ouverte d'ordre 1 ou 2 est stable si et seulement si les coefficients du polynôme du dénominateur sont tous de même signe. On considère une FTBO d'ordre 3 dont le diagramme de Bode est donné ci-dessous :



Lorsque la phase est à $-180°$ le gain est positif, donc le système est instable. Pour remédier à ce problème, on propose d’utiliser un correcteur proportionnel de gain $\rm K$ et on veut les marges de gain et de phase suivantes : $\rm M_{G}=10~dB$ et $\rm M_{\varphi} = 45°$.

Étape 1 : On sait que le correcteur proportionnel ne va modifier que le gain de la $\rm FTBO$. Pour satisfaire la marge de gain, on se place à la pulsation pour laquelle la phase vaut $-180°$ et on veut que le gain soit de $\rm -10~dB$. Sur le graphe, il faut donc descendre de $\rm 20~dB$ environ, on déduit $\rm K$ :

$\rm 20.\log(K)=-20 ~\text{donc}~ K=10^{-1}$

Après diminution du gain, on a le nouveau tracé :



À $-180°$ on est bien à $\rm -10~dB$, la marge de gain est respectée.

Étape 2 : On contrôle si la marge de phase est vérifiée : on se place à la phase $-180+45=-135^{\circ}$ et on regarde si le gain est inférieur ou égal à 0. C’est le cas ici.

Remarque : On peut d’abord régler la marge de phase : on se place à la phase $-180+45=-135°$ et on veut que le gain soit nul. Il faut donc descendre de $\rm 20~dB$, on peut déduire $\rm K$ ici aussi et $\rm K=10^{-1}$. Il faut vérifier après que la marge de gain est respectée.