Énergie cinétique

Un point dur de l'application du théorème de l'énergie cinétique à un ensemble de solides isolés est l'évaluation des puissances extérieures au système et des puissances intérieures à l'isolement effectué. On rappelle que, dans le cadre de la dynamique, on se place dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}_{g}$.

Soit un ensemble $\displaystyle \rm \sum = \{S_{1} + S_{2} + \ldots + S_{n} \}$ de solides isolés sur lequel on veut appliquer le théorème de l'énergie cinétique. On souhaite, dans un premier temps, calculer la puissance de actions mécaniques extérieures à l'isolement réalisé.

On rappelle que la puissance des actions mécaniques extérieures à $\Sigma$ est égale à la somme des puissances extérieures appliquées à chaque solide de $\displaystyle\sum$ :

$\rm P_{ext \rightarrow \Sigma/\mathcal{R}_{g}} = \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{N_{ext}^{(i)}}P_{ext^{(k)} \rightarrow S_{i}/\mathcal{R}_{g}}$

Cette formule a l'air compliquée au premier abord, mais pour chaque solide $\rm S_{i}$ de l'ensemble $\displaystyle\sum$ on regarde quelles actions mécaniques extérieures s'appliquent dessus et, pour chacune d'entre elles, on en calcule la puissance correspondante. Chaque puissance se calcule comme suit (les torseurs doivent être exprimés au même point) :

$\rm P_{ext^{(k)} \rightarrow S_{i}/\mathcal{R}_{g}} = \left\{ \mathcal{T}_{ext^{(k)} \rightarrow S_{i}} \right\} \otimes \left\{ \mathcal{V}_{S_{i}/\mathcal{R}_{g}} \right\}$

Enfin, pour calculer la puissance des inter-efforts entre $2$ solides $\rm S_{i}$ et $\rm S_{j}$ de l'ensemble $\displaystyle\sum$, on applique la formule :

$\rm P_{S_{i} \leftrightarrow S_{j}} = \left\{ \mathcal{T}_{S_{i} \rightarrow S_{j}} \right\} \otimes \left\{ \mathcal{V}_{S_{j}/S_{i}} \right\}$

La puissance inter-effort est indépendante de $\mathcal{R}_{g}$, mais pas la puissance des actions mécaniques extérieures ! Dans le cas de liaisons parfaites et de l'absence de frottements, les puissances des inter-efforts sont nulles.

Le théorème de l'énergie cinétique est un dérivé du principe fondamental de la dynamique. Il est particulièrement utile pour des systèmes de mobilité égale à 1 car il permet d'obtenir immédiatement l'équation du mouvement.

On considère un ensemble $\displaystyle\rm \sum = \{ S_{1} + S_{2} + \ldots + S_{n} \}$ constitué de $n$ solides et sur lequel on veut appliquer le théorème de l'énergie cinétique dans le référentiel galiléen $\mathcal{R}_{g}$. On cherche donc à appliquer la formule suivante :

$\rm \displaystyle \left. \dfrac{dT_{\sum/\mathcal{R}_{g}}}{dt}\right|_{\mathcal{R}_{g}} = P_{ext \rightarrow \sum/\mathcal{R}_{g}} + P_{S_{i} \leftrightarrow S_{j}}$

Où $\rm \displaystyle P_{ext \rightarrow \sum/\mathcal{R}_{g}}$ est la puissance des actions mécaniques extérieures à $\displaystyle \sum$ et $\rm P_{S_{i} \leftrightarrow S_{j}}$ est l'ensemble des puissances inter-efforts (ou internes) entre $2$ solides $\rm S_{i}$ et $\rm S_{j}$ de $\displaystyle\sum$. On pourra se reporter à la méthode de calcul des puissances pour calculer ces dernières.

L'énergie cinétique étant additive, pour calculer l'énergie cinétique totale de $\displaystyle \sum$, il suffit de sommer les énergies cinétiques de chaque solide $\rm S_{i}$ :

$\rm T_{\Sigma/\mathcal{R}_{g}} = \displaystyle \sum_{i=1}^{n}T_{S_{i}/\mathcal{R}_{g}}$

On rappelle que l'énergie cinétique d'un solide est la moitié du comoment entre le torseur cinétique et le torseur cinématique exprimés au même point :

$\rm T_{S_{i}/\mathcal{R}_{g}} = \dfrac{1}{2} \left\{ \mathcal{C}_{S_{i}/\mathcal{R}_{g}} \right\} \otimes \left\{ \mathcal{V}_{S_{i}/\mathcal{R}_{g}} \right\}$

Une fois les puissances calculées, il est simple d'écrire l'énergie cinétique du système et de la dériver par rapport au temps pour obtenir l'équation du mouvement.