1) Méthode.

On veut résoudre α(x)y+β(x)y=γ(x)

  • étape : On met éventuellement l'équation sous forme résolue c'est-à-dire le coefficient devant est égal à . On détermine le ou les intervalles de résolution.

Sur un intervalle sur lequel la fonction ne s'annule pas, l'équation à résoudre est équivalente en divisant par

(avec et ). 

  • étape : On résout , l'équation homogène associée, sur chaque intervalle de résolution . Les solutions de sont données par avec une constante réelle.
  • étape : On cherche une solution particulière de . Trois possibilités :
    • La solution particulière est évidente.
    • On utilise le principe de superposition des solutions. Si le second membre est compliqué et se décompose en alors le principe de superposition des solutions nous dit que si est une solution de l'équation et est une solution de l'équation alors la fonction est une solution de l'équation
    • On utilise la méthode de variation de la constante qui consiste à chercher une solution particulière de sous la forme avec une solution de . On a alors
  • étape : On écrit l'ensemble des solutions de . La théorie nous dit que les solutions de s'obtiennent en additionnant toutes les solutions de et une solution particulière de .

2) Exemple

a) On considère .

  • 1ère étape : est une EDL du premier ordre homogène mais elle n'est pas sous forme résolue.

La fonction s'annule en .

On considère l'intervalle ou .

Sur , l'équation s'écrit sous forme résolue: .

  • 2ème étape : on résout l'équation homogène associé :

On cherche sur , une primitive de la fonction

On a .

Les solutions de sur sont les fonctions avec .

On peut enlever les valeurs absolues selon que ou .

Sur l'intervalle , .

Sur l'intervalle ,

  • 3ème étape : une solution particulière évidente est .
  • 4ème étape : Sur l'intervalle , les solutions de sont les fonctions .

Sur l'intervalle , les solutions de sont les fonctions .

b) On considère .

L'équation sous forme résolue est  sur l'intervalle ou .

L'équation homogène associée est la même que dans l'exemple précédent. On utilise le principe de superposition des solutions pour chercher une solution particulière de .

On définit les équations et .

Nous avons déjà vu que est une solution particulière de

Cherchons une solution de par la méthode de variation de la constante. Posons sur l'intervalle ou .

On cherche une solution particulière sous la forme avec une fonction dérivable. En injectant dans l'équation , on a avec le second membre de

C'est-à-dire avec si on est dans l'intervalle car et si on est dans l'intervalle car .

On a donc . Donc .

D'après le le principe de superposition des solutions, la fonction est une solution particulière de

Sur l'intervalle , les solutions de sont les fonctions .

Sur l'intervalle , les solutions de sont les fonctions .