États non stationnaires

Qu’est-ce qu’un état non stationnaire ?

Contrairement à un état stationnaire, dans le cas d’une onde non stationnaire, le carré du module de la fonction d’onde, c’est-à-dire la densité de probabilité de présence, dépend du temps.

Qu’est-ce que le principe de superposition en mécanique quantique ?

D’après le principe de superposition, pour un système donné, la superposition d’états possibles est un état possible.

Mathématiquement, si $\Psi _1$ et $\Psi _2$ vérifient l’équation de Schrödinger alors $\alpha \Psi _1 + \beta \Psi _2$ la vérifie aussi quelques soient les constantes $\alpha$ et $\beta$.

Physiquement, cela implique qu’une particule quantique peut être simultanément à plusieurs endroits. Ce phénomène n’est pas exclusif à la position mais à toute quantité observable comme la vitesse, la quantité de mouvement, le spin… D’où la fameuse expérience de pensée du Chat de Schrödinger, à la fois mort et vivant.

Comment peut-on exprimer mathématiquement un état non stationnaire ?

Il faut savoir que les états stationnaires forment une base des fonctions d’onde possibles pour une particule soumise à un potentiel ne dépendant pas du temps.

Ainsi, tout état quantique (dont les états non stationnaires) peut être décrit par une fonction d’onde pouvant s’écrire comme une combinaison linéaire d’états stationnaires :

$\Psi(x,t)=\sum _n c_n \varphi_n(x)e^{-i E_n t/ \hbar}$

Avec $c_n$ des coefficients de pondérations

$E_n$ l’énergie du $n^{ième}$ état stationnaire de la base.

Superposition de deux états stationnaires ?

Si l’on calcule la fonction d’onde obtenue en superposant deux états stationnaires d’énergie $E_1$ et $E_2$, on obtient une fonction d’onde dont le module dépend du temps.

Plus précisément, on obtient des oscillations de la densité de probabilité de présence, $\lvert \Psi \rvert ^2$, avec une pulsation caractéristique $\omega = \frac{E_2-E1}{\hbar}$.

Remarque : La particule quantique est dans deux états superposés d’énergie $E_1$ et $E_2$ mais, si on mesure l’énergie de la particule, on ne peut obtenir que $E_1$ ou $E_2$.

Superposition de plusieurs états stationnaires

La superposition de plusieurs états stationnaires mène aussi à une dépendance temporelle de $\lvert \Psi \rvert ^2$. Plus précisément, la superposition de plusieurs états stationnaires engendre un état non stationnaire évoluant périodiquement.