On considère des fonctions à valeurs dans K=R ou C.
I et J représentent des intervalles de R.
Soit (un) suite de fonctions de I vers K.
Méthode 1 : Etudier la convergence de suites de fonctions
- Convergence simple :
Définition :
La suite de fonctions (un) converge simplement vers u:I→K si pour tout t∈I, un(t)→n→+∞u(t).
On dit que u est la limite simple de la suite (un) notée u=limn→+∞un.
Propriétés :
Si un converge simplement sur I vers u :
- Si chaque un est positive, alors u est positive.
- Si chaque un est croissante, alors u est croissante.
- Convergence uniforme :
Définition :
La suite de fonctions (un) converge uniformément vers u:I→K si pour tout ϵ>0, il existe N∈N tel que pour tout n∈N, n≥N, alors pour tout t∈I, |un(t)−u(t)|≤ϵ.
On dit que u est la limite uniforme de la suite (un).
Théorème :
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
Théorème :
Il y a équivalence entre
- un converge uniformément vers u.
- A partir d’un certain rang, les fonctions un−u sont bornées et ‖un−u‖∞→0.
Méthode 2 : Etudier la continuité et les limites
Théorème :
Si (un) converge uniformément vers u sur I et si chaque un est continue en a∈I, alors u est continue en a. Par conséquent, la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue.
Théorème de la double limite :
Si (un) converge uniformément vers u sur I et si chaque un tend en a vers une limite finie ln alors (ln) converge et limt→alimn→+∞un(t)=limn→+∞limt→aun(t).
Théorème de Weierstrass :
Toute fonction continue sur un segment S et à valeurs dans K est limite uniforme sur S de fonctions polynomiales à coefficients dans K.
Méthode 3 : Etudier l’intégration et la dérivation
- Intégration de suites de fonctions sur un segment :
Théorème :
Soit (un) suite de fonctions continues définies sur I. Soit a∈I.
Si (un) converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction u, alors pour tous n∈N et x∈I, (u′n) converge uniformément vers ∫xau(t)dt sur tout segment de I.
- Dérivation de suites de fonctions :
Théorème :
Soit (un) suite de fonctions de classe C1 sur I.
Si (un) converge simplement sur I vers u et si (un′) converge uniformément sur tout segment de I, alors (un) converge uniformément vers u sur tout segment de I, u est de classe C1 sur I et u′=limu′n.
Théorème d’extension:
Soit (un) suite de fonctions de classe Ck sur I.
Si pour tout 0≤j≤k−1, (u(j)n) converge simplement sur I vers une fonction fj et si (u(k)n) converge uniformément vers fk sur tout segment de I, alors f0 est de classe Ck sur I et pour tout j≤k−1, f(j)0=fj.
Méthode 4 : Généralisation aux suites de fonctions vectorielles
Les suites (un) sont définies ici sur un espace vectoriel de dimension finie E de dimension finie, à valeurs dans un espace vectoriel normé F de dimension finie. On considère X partie de E.
- Convergences de suites de fonctions vectorielles :
Définitions :
(un) converge simplement vers u:X→F si pour tout x∈X, un(x)→u(x).
(un) converge uniformément vers u:X→F si pour tout ϵ>0, il existe N∈N tel que pour tout n∈N, n≥N, alors pour tout x∈X, ‖un(x)−u(x)‖F≤ϵ.
Théorème :
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
- Continuité et limite :
Théorème :
Si (un), suite de fonctions continues, converge uniformément vers u alors u est continue.
Le théorème de la double limite reste valable.
- Intégration et dérivation :
Les résultats vus pour les suites numériques restent valables.