Applications linéaires

Soient $\rm E$ et $\rm F$ des espaces vectoriels.

• On utilise la définition : $f:\rm E \rightarrow F$ est linéaire si $\forall (x,y) \in \rm E^2$, $\forall \lambda\in {\Bbb K}$, $f(\lambda x + y ) = \lambda f(x) + f(y)$.

• On utilise le fait qu'une $\rm C.L$ ou la composées d'applications linéaires est encore linéaire.

Par exemple, si on sait que $f$ et $g$ sont linéaires alors : $f-5g + f \circ g$ est aussi linéaire.

• Si $f$ n'envoie pas le vecteur nul de l'espace de départ sur le vecteur nul de l'espace d'arrivée alors $f$ n'est pas linéaire.

$\rm \mathcal L(E, F)$ l’ensemble des applications linéaires de $\rm E$ vers $\rm F$ est un espace vectoriel.

Si $\rm E$ et $\rm F$ sont de dimension finie, $\rm \dim \mathcal L(E, F)= \dim E\times \dim F$.

On peut aussi déterminer une application linéaire en utilisant une base:

Théorème: Si $(\mathrm e_i)_{i\in \rm I}$ est une base de $\rm E$ et $(f_i)_{i\in \rm I}$ une famille de vecteurs de $\rm F$, alors il existe une unique application $u \in \mathcal L \rm (E,F)$ telle que, pour tout $i \in \rm I$, $u(\mathrm e_i) = f_i$.

$\rm A.L = \text{application linéaire}$

Définitions :

• Un endomorphisme est une $\rm A.L$ de $\rm E$ dans $\rm E$ (le préfixe grec "endo" signifie à "l'intérieur de" ; on reste à l'intérieur de $\rm E$).
• Un isomorphisme est une $\rm A.L$ de $\rm E$ dans $\rm F$ bijective.
• Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

Théorème: Soient $\rm E$ et $\rm F$ deux $\mathbb K$-espaces vectoriels.

Si $\rm E$ est de dimension finie et si $\rm F$ est isomorphe à $\rm E$, alors $\rm F$ est de dimension finie et : $\rm \dim E=\dim F$.

Réciproquement, deux $\mathbb K$-espaces vectoriels qui ont la même dimension finie sont isomorphes.

Définition :
Soit $f$ une application linéaire de $\rm E$ vers $\rm F$.
Le noyau de $f$ est : $\mathrm{Ker}(f)=\{x\in \mathrm E/f(x)=0$ vecteur nul)$\}$.
L’image de $f$ est : $\mathrm{Im}(f)=\{y\in \mathrm F$ / il existe $x\in \mathrm E, f(x)=y\}$.

Théorème :
Le noyau de $f$ est un sous-espace vectoriel de $\rm E$.
L’image de $f$ est un sous-espace vectoriel de $\rm F$.

Théorème:
$f$ est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}(f)=\rm \{0_E\}$.
$f$ est surjective si et seulement si $\mathrm{Im}(f)=\rm F$.

Théorème du rang : soit $f$ une application linéaire d'un espace $\rm E$ de dimension finie dans un espace $\rm F$ (pas forcément de dimension finie).

${\rm \dim(E)} = \dim({\rm ker}(f)) + {\rm rg}(f)$

${\rm rg}(f)$ est la dimension de l'image.

Ce théorème nous dit que plus l'image est "grande" plus le noyau est "petit". Et vice et versa.

On montre facilement à partir de la formule du rang que si $f$ est un endomorphisme d'un espace de dimension finie :

$f$ est injective si et seulement si $f$ est surjective si et seulement si $f$ est bijective (c'est-à-dire un automorphisme).

Soit $\rm E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel.

Définition: Soit $\lambda \in \mathbb K$.

On appelle homothétie de $\rm E$ de rapport $\lambda$ l’application linéaire $h=\lambda\rm I_E$. Pour tout $x\in \rm E$, on a donc $h(x)=\lambda x$. $h$ est un endomorphisme de $\rm E$: $h\in\mathcal L(\rm E)$.

Théorème: $(\mathcal L(\rm E),+,\circ)$ est un anneau.

Remarque: On peut noter $fg$ au lieu de $f\circ g$ pour la loi de composition pour tous $f,g \in \mathcal L(\rm E)$.

Définition: L’ensemble des automorphismes (endomorphismes bijectifs) est noté $\rm GL$ et appelé groupe linéaire de $\rm E$.

Définitions: Soient $\rm E_1$ et $\rm E_2$ deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\rm E$ : $\rm E=E_1\oplus E_2$.

On note $p$ la projection (ou projecteur) sur $\rm E_1$ parallèlement à $\rm E_2$ telle que si $x=x_1+x_2$ avec $x_1\in \rm E_1$ et $x_2\in \rm E_2$, alors $p(x)=x_1$.

On note $s$ la symétrie par rapport à $\rm E_1$ parallèlement à $\rm E_2$ telle que si $x=x_1+x_2$ avec $x_1\in \rm E_1$ et $x_2\in \rm E_2$, alors $s(x)=x_1-x_2$.

$p$ et $s$ sont des endomorphismes de $\rm E$.

Théorème: Soit $p\in\mathcal L(\rm E)$.

$p$ est un projecteur si et seulement si $p^2=p$.

Théorème: Soit $s\in\mathcal L(\rm E)$.

$s$ est une symétrie si et seulement si $s^2=\rm Id_E$