a) On calcule les premières puissances de $\bf A$ et on conjecture une formule générale que l'on montre par récurrence.
Exemple : posons $\rm E$ la matrice carrée d'ordre $\rm n$ remplie de $1$.
Alors $\rm E^2 = nE$. Donc $\rm E^3= E^2 \times E = nE^2 = n^2E$.
On conjecture que $\rm E^{p} = n^{p-1}E$ ; on montre cette formule par récurrence sur $\rm p$.
Attention cette formule n'est valable que pour $\rm p \geq 1$ car par définition $\rm E^{0}=I$ (=la matrice identité ou unité = la matrice diagonale de coefficient $1$).
b) On décompose $\bf A$ et on utilise la formule du binôme de Newton.
Remarque si $\rm A$ et $\rm B$ sont des matrices carrés d'ordre $\rm n$ (c'est-à-dire le nombre de lignes = nombre de colonnes $= \rm n$), $\rm (A+B)^2 = A^2+B^2+AB+BA$.
On ne peut pas simplifier davantage sans hypothèse supplémentaire sur les matrices $\rm A$ et $\rm B$.
Si $\rm A$ et $\rm B$ commutent c'est-à dire si $\rm A \times B = B \times A$ alors on a la théorème suivant (c'est la formule du binôme de Newton pour les matrices) :
$\displaystyle \rm (A+B)^p = \sum_{k=0}^{p}
\left(\begin{array}{c}
\rm p\\
\rm k\end{array}\right)
\rm A^kB^{p-k}$.
L'idée est de décomposer $\rm A = A_1 + A_2$ avec $\rm A_1$ et $\rm A_2$ des matrices qui commutent. On peut alors utiliser la formule du binôme de Newton :
$(\rm{A_1+A_2})^p = \sum_{k=0}^{p}
\left(\begin{array}{c}
\rm p\\
\rm k
\end{array}\right)
\mathrm A_1^k\mathrm A_2^{p-k}$.
On espère ensuite que le calcul des puissances $\rm A_1^k$ et $\rm A_2^{p-k}$ soient simples afin de calculer la somme.
Les matrices dont les puissances sont simples à calculer sont par exemple :
- Les matrices diagonales
- Les matrices nilpotentes qui sont définies ci-dessous
En effet, pour les matrices diagonales, on a :
Si $\rm D = {\rm diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$, alors, pour tout $\rm p \in {\Bbb N}$ : $\rm D^p = {\rm diag}(\alpha_1^p, \ldots, \alpha_n^p)$.
Une matrice nilpotente est une matrice $\rm A$ de $\rm M_n({\Bbb K})$ telle qu'il existe un entier $\rm q$ tel que $\rm A^{q}=0$.
Exemple :
Calculer $\rm A^p=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 2\\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)^p$ pour tout $\rm p \in {\Bbb N}$.
Décomposons la matrice :
$\rm A = \underbrace{\left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)}_{=D} + \underbrace{\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)}_{=N}$.
Nous avons décomposé $\rm A$ en la somme d'une matrice diagonale et d'une matrice dont on montrera qu'elle est nilpotente.
Vérifions que $\rm D$ et $\rm N$ commutent. On a :
$\rm DN = ND = \left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 6\\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)$.
Donc on peut utiliser la formule du binôme de Newton :
$\displaystyle \rm A^p = (D+N)^p = \sum_{k=0}^p
\left(\begin{array}{c}
\rm p\\
\rm k
\end{array}\right)
D^{p-k}N^{k}$.
Par puissance d'une matrice diagonale, on a :
$\rm D^{p-k} = \left(\begin{array}{ccc}
3^{\rm p-k} & 0 & 0\\
0 & 2^{\rm p-k} & 0 \\
0 & 0 & 3^{\rm p-k}
\end{array}\right)$.
Par ailleurs, un calcul donne $\rm N^2=0_{M_3({\Bbb R})}$ donc $\rm N$ est une matrice nilpotente. On en déduit que $\rm N^{k}=0_{M_3({\Bbb R})}$ dès que $\rm k\geq2$.
Découpons la somme en deux parties :
$\displaystyle \rm A^p = \sum_{k=0}^{1}
\left(\begin{array}{c}
\rm p\\
\rm k\end{array}\right)$ $\displaystyle \rm D^{p-k}N^{k} + \sum_{k=2}^{p}
\left(\begin{array}{c}
p\\
k\end{array}\right)
D^{p-k}\underbrace{N^{k}}_{=(0)}$.
On a donc $\displaystyle \rm A^p = \sum_{k=0}^{1}
\left(\begin{array}{c}
\rm p\\
\rm k\end{array}\right)
D^{p-k}N^{k}$
Attention : ce n'est pas parce que la somme s'arrête à $\rm k=1$ que $\rm p=1$ !! $\rm p$ reste $\rm p$ !!
On a :
$\rm A^p =
\left(\begin{array}{c}
\rm p\\
0\end{array}\right)D^{p-0}$ $\rm N^{0} +
\left(\begin{array}{c}
\rm p\\
1\end{array}\right)
D^{p-1}N^{1}$ $\rm = D^pI_3 + p D^{p-1}N$ $\rm = D^p + p D^{p-1}N$
Donc $\scriptstyle \rm A^p = \left(\begin{array}{ccc}
\scriptstyle 3^{\rm p} & \scriptstyle 0 &\scriptstyle 0\\
\scriptstyle 0 &\scriptstyle 2^{\rm p} &\scriptstyle 0 \\
\scriptstyle 0 &\scriptstyle 0 &\scriptstyle 3^{\rm p}
\end{array}\right)$ $+$ $\scriptstyle\rm p~\left(\begin{array}{ccc}
\scriptstyle \rm 3^{p-1} &\scriptstyle 0 &\scriptstyle 0\\
\scriptstyle 0 & \scriptstyle \rm 2^{p-1} & \scriptstyle 0 \\
\scriptstyle 0 &\scriptstyle 0 &\scriptstyle \rm 3^{p-1}
\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{ccc}
\scriptstyle 0 &\scriptstyle 0 &\scriptstyle 2\\
\scriptstyle 0 &\scriptstyle 0 &\scriptstyle 0 \\
\scriptstyle 0 &\scriptstyle 0 &\scriptstyle 0
\end{array}\right)$.
Après calcul, on obtient :
$\rm A^p = \left(\begin{array}{ccc}
\rm 3^p & 0 &\rm 2p3^{p-1}\\
0 &\rm 2^p & 0 \\
0 & 0 &\rm 3^p
\end{array}\right)$
Test de cohérence :
- Pour $\rm p=0$, on retrouve bien la matrice $\rm I_3$
- Pour $\rm p=1$, on retrouve bien la matrice $\rm A$
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