Définition : Un ensemble $\rm E$ est fini s’il est vide ou s’il existe $n\in \mathbb N^*$, tel que l’ensemble $[|1; n|]$ soit en bijection avec $\rm E$.
Si $\rm E$ est fini non vide, $n$ est appelé le cardinal de $\rm E$, c’est-à-dire le nombre d’éléments de $\rm E$.
On note $n= |\rm E|=card(E)$.
Par convention, l’ensemble vide a pour cardinal $0$.
Théorème : Soit $\rm A$ une partie de $\rm E$, qui est un ensemble fini.
Alors $\rm A$ est une partie finie et : $\rm |A|\leq|E|$.
$\rm |A|=|E|$ si et seulement si $\rm A=E$.
Théorème : Une application entre deux ensembles finis de même cardinal est bijective si et seulement si elle est injective, si et seulement si elle est surjective.
Opérations sur les cardinaux : soient $\rm A$ et $\rm B$ deux ensembles :
- $\rm |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.
- Si $\rm A$ et $\rm B$ sont disjoints, $\rm |A\cup B|=|A|+|B|$.
- $\rm |A\times B|=|A|\times |B|$
Remarque : ces principes peuvent se généraliser à un nombre fini quelconque d’ensembles (avec des ensembles deux à deux disjoints pour le principe additif).
- Si $\rm A\subset B$, $\rm |\bar{A}|=|B|-|A|$
Théorème : Soit $\rm E$ un ensemble à $n$ éléments.
Alors, l'ensemble $\rm P(E)$ des parties de $\rm E$ est fini et possède $2^n$ éléments.
Exemple : Le nombre de mots de longueur $n$ sur un alphabet à $2$ éléments est $2^n$.
Théorème : Soient $\rm E$ et $\rm F$ deux ensembles finis.
Le cardinal de l’ensemble des applications de $\rm E$ vers $\rm F$ est égal à : $\rm |F|^{|E|}$.