Dérivabilité

On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $\rm I$.

Dérivabilité en un point :

La fonction $f$ est dérivable en un point $x_0$ de l'intervalle $\rm I$ si le taux de variation $\displaystyle{\Delta(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ admet une limite finie $l$ lorsque $x \rightarrow x_0$. 

On pose $h=x-x_0$ et donc $x = x_0+h$. Alors $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si le taux de variation $\displaystyle{\Delta(x_0+h) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$ admet une limite finie $l$ lorsque $h \rightarrow 0$. 

Cette limite se note $f'(x_0)$ et s'appelle le nombre dérivée de $f$ en $x_0$. Il est égal à la pente de la tangente en $x_0$.

Dérivabilité sur un intervalle :

Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $\rm I$ si $f$ est dérivable en tout point de cet intervalle. 

Remarque : soit $f:[a,b] \rightarrow {\Bbb R}$. Soit $c \in ]a,b[$. Si $f$ est dérivable sur $[a,c]$ et $f$ est dérivable sur $[c,b]$ alors $f$ n'est pas forcément dérivable sur la réunion $[a,c] \cup [c,b] = [a,b]$. 

Car dire que $f$ est dérivable sur $[a,c]$ veut dire que $f$ est seulement dérivable à gauche de $c$ c'est-à-dire que la limite de $\displaystyle{\Delta(c+h) = \frac{f(c+h)-f(c)}{h}}$ existe quand $h$ tend vers $0^-$. 

Et $f$ est dérivable sur $[c,b]$ veut dire que $f$ est seulement dérivable à droite de $c$, c'est-à-dire que la limite de $\displaystyle{\Delta(c+h) = \frac{f(c+h)-f(c)}{h}}$ existe quand $h$ tend vers $0^+$.

Mais les deux limites ne sont pas forcément les mêmes de sorte que $f$ n'est pas forcément dérivable en $c$. 

Théorème : la dérivabilité implique la continuité.

La réciproque est fausse. Par exemple, la fonction $x \mapsto |x|$ est continue sur ${\Bbb R}$ mais pas dérivable sur ${\Bbb R}$ car par dérivable en $0$. 

Comment étudier la continuité/dérivabilité d'une fonction définie par morceaux ?

Par exemple : étudions la dérivabilité de la fonction $f$ définie par $\displaystyle f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ si $x \neq 0$ et $f(0)=0$. 

• Sur ${\Bbb R}^*$, la fonction est la composée de la fonction exponentielle (dérivable sur ${\Bbb R}$) et de la fonction $x \mapsto 1/x^2$ (dérivable sur ${\Bbb R}^*$) donc par composition $f$ est dérivable sur ${\Bbb R}^*$.
• Ensuite, on étudie la dérivabilité au point $0$. Le taux de variation est $\displaystyle \Delta(x) = \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ $\displaystyle = \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{x} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$.
  On effectue le changement de variable $\displaystyle{y = \frac{1}{x}}$. On a alors $\Delta(x) = ye^{-y^2}$. Lorsque $x$ tend vers $0$, $y$ tend vers $\pm \infty$. Par croissance comparée, $\Delta(x)$ tend vers $0$ donc la fonction $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=0$ (la limite du taux de variation). 
• Synthèse : $f$ est dérivable sur ${\Bbb R}^*$ et $f$ est dérivable en $0$ donc $f$ est dérivable sur ${\Bbb R}$.

Théorème de Rolle :

Soit $a,b$ des réels et $f:[a,b]\to \mathbb R$ une fonction. On suppose que $f$ est continue sur $[a,b]$, $f$ est dérivable sur $]a,b[$ et $f(a)=f(b)$.

Alors il existe $c\in]a,b[$ tel que $f’(c)=0$.

Théorème des accroissements finis :

Soit $a,b$ des réels et $f:[a,b]\to \mathbb R$ une fonction. On suppose que $f$ est continue sur $[a,b]$, $f$ est dérivable sur $]a,b[$.

Alors il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f’(c)$.

Inégalité des accroissements finis : soit $f$ une fonction dérivable sur $\rm I$ telle que la dérivée soit bornée c'est-à-dire il existe $k\ge 0$ tel que $\forall t \in \rm I$, $|f'(t)| \le k$. Alors pour tout $(x,y)$ dans $\rm I^2$, $|f(x)-f(y)| \le k |x-y|$.

On dit alors que $f$ est $k$-lipchitzienne.

Théorème de la limite de la dérivée :

Si $f$ est continue sur $\rm I$, dérivable sur $\mathrm I -\{a\}$ et si $\displaystyle \lim_{x \to a} f’(x) = l\in\mathbb R$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f’(a)=l$.

a) Définition

$n$ est un entier naturel non nul.

Une fonction $f$ est $n$-fois dérivable si $f$ est dérivable $n-1$ fois et la dérivée d'ordre $n-1$ notée $f^{(n-1)}$ est dérivable. Dans ce cas, la dérivée d'ordre $n$ (ou la dérivée $n$-ème) est $f^{(n)} = (f^{(n-1)})'$.

Par convention, $f^{(0)}=f$.

Exemple : $f$ est $2$ fois dérivable signifie que $f$ est dérivable et $f'$ est dérivable. 

Remarque : la définition est une définition par récurrence. 

b) Conjoncture

Pour déterminer la dérivée d'ordre $n$ d'une fonction, on calcule les premières dérivées et on conjecture une formule générale.

On prouve la formule générale par récurrence. 

Exemple : soit $a$ une constante réelle. Déterminons la dérivée $n$-ème de la fonction $f:x \mapsto \mathrm e^{ax}$. 

On a $f'(x) = a\mathrm e^{ax}$, 
$f^{(2)} = a^2\mathrm e^{ax}$,
$f^{(3)} = a^3\mathrm e^{ax}$
etc.

On conjecture que, pour tout entier $n$, $(\mathrm e^{ax})^{(n)} = a^n(\mathrm e^{ax})$. 

Prouvons-le par récurrence. Pour $n=0$, $f^{(0)}(x) = f(x) = \mathrm e^{ax}$ par définition. C'est bien égal à $a^0\mathrm e^{ax}$. 

Supposons la formule vraie au rang $n$ : $f^{(n)}(x) = a^n \mathrm e^{ax}$. On a $f^{(n+1)}(x) = (f^{(n)})'(x) = (a^n \mathrm e^{ax})' = a^{n+1}\mathrm e^{ax}$. Donc la formule est vraie au rang $n+1$. 

c) Une formule à connaître ou à savoir à retrouver

On pose $f(x) =x^n$.

La dérivée d'ordre $k$ de $f$ est $f^{(k)}(x) = n(n-1) \ldots (n-k+1) x^{n-k}$ $= \dfrac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$ si $k \le n$ et $f^{(k)}(x)=0$ si $k>n$ (lorsqu'on dérive un polynôme un nombre de fois strictement plus grand que son degré, on obtient la fonction nulle).

d) La formule de Leibniz

C'est une formule permettant de calculer $(f \times g)^{(n)}$.

On a $\displaystyle{(f \times g)^{(n)} = 
\sum_{k=0}^n 
\left(\begin{array}{c}
n\\
k
\end{array}
\right)f^{(k)}g^{(n-k)}}$.

Définition : on dit qu'une fonction est de classe $\mathrm C^1$ si $f$ est dérivable et la dérivée $f'$ est continue. 

Soit $n$ un entier non nul. On définit plus généralement $f$ est de classe $\mathrm C^n$ si $f$ est $n$ fois dérivable et $f^{(n)}$ la dérivée d'ordre $n$ est continue. 

$f$ est de classe $\mathrm C^0$ signifie que $f$ est continue.

$f$ est de classe $\mathrm C^{\infty}$ signifie que $f$ est de classe $\mathrm C^n$ pour tout entier $n$, cela est équivalent à dire que $f$ est $n$ fois dérivable pour tout entier $n$. On dit alors que $f$ est une infiniment dérivable. 

Notons $\mathrm C^n$ est de classe $\mathrm C^n$ et $\mathrm D^n$ est $n$ fois dérivable. On a les implications suivantes :

$f$ est $\mathrm C^{n+1}$ $\Rightarrow$ $f$ est $\mathrm D^{n+1}$ $\Rightarrow$ $f$ est $\mathrm C^{n}$ $\Rightarrow$ $f$ est $\mathrm D^{n}$ $\Rightarrow$ $\ldots $ $\Rightarrow$ $f$ est $\mathrm C^{2}$ $\Rightarrow$ $f$ est $\mathrm D^{2}$ $\Rightarrow$ $f$ est $\mathrm C^{1}$ $\Rightarrow$ $f$ est $\mathrm D^{1}$ (c'est-à-dire $f$ est dérivable) $\Rightarrow$ $f$ est $\mathrm C^{0}$ ($f$ est continue). 

Plus on va vers la droite de cette chaîne d'inclusions et plus la fonction est irrégulière.