Déterminants

• Déterminant d’ordre $2$ : $\rm \left|\begin{array}{ll} a & b\\ c & d\end{array}\right|= ad-bc$
• Déterminant d’ordre $3$ : règle de Sarrus.
• Déterminant par développement suivant une ligne ou une colonne, par exemple suivant la ligne $i$ : $\displaystyle\det(A)=\sum_{j=1}^n a_{i,j}(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})$

Où $\mathrm A_{i,j}$ est la matrice obtenue à partir de $\rm A$ en enlevant la $i^{\rm ème}$ ligne et la $j^{\rm ème}$ colonne.

• Matrice triangulaire supérieure :
  Le déterminant est égal au produit des coefficients de la diagonale.
• Transposée de matrices : $\rm \det(^tA)=\det(A)$
• Produit de matrices : $\rm \det(AB)$ $\rm =\det(A)\det(B)$ et $\rm \det(\lambda A)$ $\rm =\lambda^n \det(A)$

A = (a_i,j)

Matrice inversible :

$\rm A$ est inversible si et seulement si $\rm \det(A)\neq 0$. Dans ce cas $\displaystyle \rm \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$

Si $\rm A$ est inversible, $\displaystyle\rm A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}^t(Com(A))$.

$\rm Com(A)$ est la comatrice de $\rm A$, c’est-à-dire la matrice des cofacteurs de $\rm A$.

Le cofacteur en $(i,j)$ est $(-1)^{i+j}\mathrm M_{i,j}$ où $\mathrm M_{i,j}$ est le mineur en $(i,j)$, qui correspond au déterminant de la matrice dans laquelle on a enlevé la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne.

Définition: Soit $f$ un endomorphisme sur $\rm E$, espace vectoriel de dimension finie.

Le déterminant de $f$, $\det(f)$, est égal au déterminant de la matrice de $f$ dans une base de $\rm E$.

Remarque : $\det(f)$ ne dépend pas de la base choisie.

Propriétés: Soient $f$ et $g$ des endomorphismes sur $\rm E$, espace vectoriel de dimension finie.

• $\det(f\circ g)=\det(f)\times \det(g)$
• $\det(\lambda f)=\lambda^n \det(f)$
• Si $f$ est un automorphisme (c’est-à-dire si $\det(f)\neq 0$), $\det(f^{-1})=\dfrac{1}{\det(f)}$.