Opérations sur les D.L
Avec les développements limités, on peut effectuer les quatre opérations arithmétiques (addition, soustraction et, plus généralement, combinaison linéaire, produit et quotient) et la composition.
Lorsqu'on effectue des opérations sur les développements limités, il y a deux points importants à garder à l'esprit :
- On ne travaille qu'avec les parties polynomiales des développements limités. Ainsi, on n'a pas à gérer « les petits o ».
- Les développements limités entrant en jeu lors des calculs doivent être, en général, tous au même ordre.
Après les calculs, on vérifie les deux points suivants :
- Le terme de degré $0$ du développement limité est la valeur de la fonction en $0$ (si elle est définie en $0$ sinon c'est sa limite en $0$).
- Si la fonction est paire (respectivement impaire) la partie polynomiale du développement limité ne doit comporter que des termes de degré pair (respectivement impair).
a) Combinaison linéaire :
Exemple: $\mathrm{DL}_5(0)$ de ${\rm ch}(x)$.
On sait que $\displaystyle{\mathrm {\rm ch}(x) = \frac{1}{2}\mathrm e^x + \frac{1}{2}\mathrm e^{-x}}$.
Or $\displaystyle\mathrm e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}$ $+$ $\displaystyle \frac{x^5}{5!} + {\rm o}(x^5)$ et $\displaystyle\mathrm e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3!}$ $+$ $\displaystyle\frac{x^4}{4!} - \frac{x^5}{5!} + {\rm o}(x^5)$
Donc par somme et multiplication par $1/2$ :
$\displaystyle{{\rm ch}(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + {\rm o}(x^5)}$.
Remarque: si on écrit $\displaystyle{{\rm ch}(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + {\rm o}(x^5)}$ ou $\displaystyle{{\rm ch}(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + {\rm o}(x^4)}$, l'approximation polynomiale est la même, mais l'erreur d'approximation dans la première écriture est plus petite que dans la deuxième.
b) Multiplication
Exemple: calculons le $\mathrm{DL}_5(0)$ de $f:x \mapsto \ln(1+x)\cos(x)$.
On commence par écrire les $\mathrm{DL}_5(0)$ de $x \mapsto \ln(1+x)$ et de $\cos$.
On retrouve le $\mathrm{DL}_5(0)$ du logarithme en partant de $\displaystyle \frac{1}{1+x} = (\ln(1+x))' \stackrel{x \rightarrow 0}{=}$ $1 -x +x^2 -x^3 +x^4 +\mathrm o(x^4)$.
(L'ordre $4$ est suffisant car, par intégration, on augmente l'ordre d'une unité.) D'où$\displaystyle\ln(1+x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=}$ $\displaystyle x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}$ $+$ $\displaystyle\frac{x^5}{5} + \mathrm o(x^5)$.
La partie polynomiale du $\mathrm{DL}_5(0)$ de $\cos$ est identique à celle du $\mathrm{DL}_4(0)$ puisque $\cos$ est paire : $\displaystyle{\cos(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \mathrm o(x^5)}$.
Lors de la multiplication des deux développements limités, il est inutile de conserver les termes de degré supérieur ou égal à $6$ puisque seulement un développement limité à l'ordre $5$ nous intéresse ici.
Par exemple, le terme $\displaystyle{\frac{x^3}{3} \times - \frac{x^2}{2!} = -\frac{x^6}{6}}$ peut s'écrire $x^5\epsilon(x)$ avec $\displaystyle{\epsilon(x) = -\frac{x}{6}}$ qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $0$.
Ce terme est donc un $\mathrm o(x^5)$. Tous les termes de degré supérieur ou égal à $6$ sont donc englobés dans $\mathrm o(x^5)$ (y compris la multiplication des erreurs d'approximation entre elles $\mathrm o(x^5) \times \mathrm o(x^5) = x^5 \epsilon_1(x) \times x^5 \epsilon_2(x) = x^5\epsilon_3(x)$ avec $\epsilon_3(x) = x^5\epsilon_1(x)\epsilon_2(x))$.
Il est pratique de présenter les calculs dans un tableau qui ne comporte que les parties polynomiales tronquées (=coupées) au degré $5$.
Appelons $\displaystyle{\mathrm P(x)= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5}}$ la partie polynomiale du développement limité de $\ln(1+x)$.
Nous avons besoin de multiplier $\mathrm P$ par $\displaystyle{-\frac{x^2}{2!}}$ et par $\displaystyle{\frac{x^4}{4!}}$.
La dernière ligne du tableau consiste à additionner les trois lignes précédentes pour obtenir le produit (tronqué au degré $5$) de $\displaystyle{\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\right) \times \mathrm P(x)}$.
Il n'y a pas égalité entre les deux colonnes du tableau. Par exemple, $\displaystyle{\frac{x^4}{4!}\mathrm P(x) \neq \frac{x^5}{4!}}$. Mais $\displaystyle \frac{x^4}{4!}\mathrm P(x)$ tronqué à l'ordre $5$ est égal à $\displaystyle{\frac{x^5}{4!}}$.
Afin de faciliter le calcul des fractions (sans calculatrice !), il est conseillé de laisser dans le tableau les coefficients sous forme de factorielles ou de produits, c'est-à-dire d'écrire $4!$ plutôt que $24$ et $2,3$ plutôt que $6$.
Pour calculer $\displaystyle{\alpha=\frac{1}{5}-\frac{1}{2,3}+\frac{1}{4!}}$, calculons d'abord $\displaystyle{-\frac{1}{2,3} + \frac{1}{4!}}$. Le plus petit dénominateur commun est $4!$ : $\displaystyle{-\frac{1}{2,3} + \frac{1}{4!} = \frac{-4+1}{4!} = -\frac{3}{4!} = -\frac{1}{2,4}}$.
On en déduit que $\displaystyle \alpha=\frac{1}{5} - \frac{1}{2,4}$. Le plus petit dénominateur commun est $2.4.5$ : $\displaystyle{\alpha = \frac{2,4-5}{2.4.5} = \frac{3}{40}}$ On a donc finalement : $\displaystyle \ln(1+x)\cos(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=}$ $\displaystyle x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{3}{40}x^5 + \mathrm o(x^5)$.
c) Composition
Méthode : pour calculer le $\mathrm{DL}_n(0)$ de $f \circ g$ à partir des $\mathrm{DL}_n(0)$ de $f$ et $g$ :
- On vérifie que $g(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0$.
(Ou plus généralement, pour calculer le $\mathrm{DL}_n(x_1)$ de $f \circ g$ à partir du $\mathrm{DL}_n(x_2)$ de $f$ et du $\mathrm{DL}_n(x_1)$ de $g$, on vérifie que $g(x) \stackrel{x \rightarrow x_1}{\longrightarrow} x_2$.)
- On écrit les $\mathrm{DL}_n(0)$ de $f$ et $g$. Penser à utiliser deux variables différentes.
- On calcule les parties polynomiales tronquées au degré $n$ dans un tableau.
Exemple: calculons le $\mathrm{DL}_2(0)$ de $f(x)=\mathrm e^{\sqrt{1+x}}$.
On connaît les développements limités des fonctions $\exp$ et $x \mapsto \sqrt{1+x}$ au voisinage de $0$ mais $\sqrt{1+x}$ ne tend pas vers $0$ lorsque $x$ tend vers $0$. Il faut donc se ramener à une fonction qui tende vers $0$. On écrit alors $f(x) = \mathrm e^{\sqrt{1+x}{\mathbf -1+1}} = \mathrm e\times \mathrm e^{\sqrt{1+x}-1}.$
On retrouve le $\mathrm{DL}_2(0)$ de $x \mapsto \sqrt{1+x}$ à partir de $(1+x)^{\alpha}$ avec $\displaystyle{\alpha=\frac{1}{2}}$.
On obtient $\displaystyle{\sqrt{1+x}\stackrel{x \rightarrow 0}{=} 1+ \frac{x}{2}-\frac{x^2}{8} +
\mathrm o(x^2)}$ donc $\displaystyle{\sqrt{1+x}-1 \stackrel{x \rightarrow 0}{=} \frac{x}{2}-\frac{x^2}{8} + \mathrm o(x^2)}$.
On sait que $\displaystyle{\mathrm e^u \stackrel{u \rightarrow 0}{=} 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \mathrm o(u^2)}$.
Comme $\sqrt{1+x}-1 \longrightarrow 0$, on peut à présent composer les développements limités de $x \mapsto \sqrt{1+x}-1$ et $\exp$.
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\scriptstyle \mathrm P(x) & \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} \\
\hline
\scriptstyle \mathrm P(x)^2 & \frac{x^2}{4} \\
\hline
\scriptstyle 1+\mathrm P(x)+\frac{\mathrm P(x)^2}{2} & 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^2}{8} = 1+\frac{x}{2}\\
\hline
\end{array}$$
On a donc $\displaystyle{f(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} \mathrm e\left(1 + \frac{x}{2} + o(x^2)\right)}$ soit $\displaystyle{f(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} \mathrm e + \frac{\mathrm e}{2}x + \mathrm o(x^2)}$.
On vérifie que le premier terme du développement limité est égal à $f(0)$.
d) Quotient
Méthode: développement limité d'un quotient - version $1$.
Pour effectuer le développement limité du quotient $\displaystyle{\frac{f}{g}}$ lorsque $g(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{\longrightarrow} \ell \neq 0$ :
- On vérifie que $g(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{\longrightarrow} \ell \neq 0$.
- On effectue le développement limité de $\displaystyle{\frac{1}{g}}$ en se ramenant à une forme du type $\displaystyle{\frac{1}{1-u}}$ avec $u$ qui tend vers $0$.
- On effectue la multiplication des développements limités de $f$ et $\displaystyle{\frac{1}{g}}$.
Calculons le $\mathrm{DL}_5(0)$ de $\displaystyle{\tan x = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}}$.
On a $\displaystyle \frac{1}{\cos(x)} \stackrel{x \rightarrow 0}{=} \frac{1}{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \mathrm o(x^5)}$.
C'est de la forme $\displaystyle{\frac{1}{1-u(x)}}$ avec $\displaystyle{u(x) = \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \mathrm o(x^5) \longrightarrow 0}$ (Attention aux signes quand on définit $u(x)$ !).
On sait que le $\mathrm{DL}_5(0)$ de $\displaystyle{u \mapsto \frac{1}{1-u}}$ est $\displaystyle \frac{1}{1-u} \stackrel{u \rightarrow 0}{=}$ $1 + u + u^2+u^3+u^4+u^5 + \mathrm o(u^5).$
On en déduit que $\displaystyle{\frac{1}{\cos(x)} \stackrel{x \rightarrow 0}{=} 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{5}{4!}x^4+ \mathrm o(x^5).}$
Il reste à effectuer la multiplication : $\displaystyle \tan(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} \left[x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+ \mathrm o(x^5)\right]$ $\displaystyle \left[1+\frac{x^2}{2!}+\frac{5x^4}{4!}+ \mathrm o(x^5)\right]$.
\[\begin{array}{|c|c|}
\hline
\scriptstyle\mathrm P(x)& \scriptstyle 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5}{4!}x^4\\
\hline
\scriptstyle x\mathrm P(x) & \scriptstyle x + \frac{x^3}{2} + \frac{5}{4!}x^5\\
\hline
\scriptstyle-\frac{x^3}{3!}\mathrm P(x) & \scriptstyle-\frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{2.3!}\\
\hline
\scriptstyle\frac{x^5}{5!}\mathrm P(x) & \frac{x^5}{5!}\\
\hline
\scriptstyle\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\right)\mathrm P(x) & \scriptstyle x + \frac{x^3}{3} + \alpha x^5\\
\hline
\end{array}\]
avec $\displaystyle{\alpha = \frac{5}{4!} -\frac{1}{2.3!} +\frac{1}{5!}}$.
Pour calculer $\alpha$, on additionne les fractions deux à deux et on recherche le plus petit dénominateur commun.
Pour chercher le plus petit dénominateur commun de $\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$, on décompose les entiers $a$ et $b$ en facteurs premiers : $a=p_1^{n_1}\times \ldots \times p_r^{n_r}$ $b=p_1^{m_1}\times \ldots \times p_r^{m_r}.$
Le plus petit dénominateur commun est le plus petit commun multiple de $a$ et $b$ (ppcm) :$p_1^{\max(n_1,m_1)}\times \ldots \times p_r^{\max(n_r,m_r)}.$
$\begin{array}{lll}
\alpha & = & \left(\frac{5}{4!} -\frac{1}{2.3!}\right)+\frac{1}{5!}\\
& = & \left(\frac{5}{2^3.3} -\frac{1}{2^2.3}\right) +\frac{1}{5!}\\
&= & \frac{5-2}{2^33} + \frac{1}{5!}\\
&= & \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^3.3.5}\\
& =& \frac{3.5 +1}{2^3.3.5} = \frac{16}{2^3.3.5} = \frac{2}{15}.
\end{array}$.
Finalement, on obtient : $\displaystyle{\tan(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} x + \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15}x^5 + o(x^5)}$.
Méthode: développement limité d'un quotient - version 2.
Pour effectuer le développement limité du quotient $\frac{f}{g}$ lorsque $g(x)$ ne tend pas vers $0$ :
- On écrit les développements limités du numérateur et du dénominateur à l'ordre $n$ : $\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)} \stackrel{x \rightarrow 0}{=} \frac{a_px^p + \ldots + a_nx^n + o(x^n)}{b_qx^q + \ldots + b_nx^n + o(x^n)}}$ (on suppose que l'on a $p \geq q$).
- On simplifie le numérateur et le dénominateur par $b_qx^q$ ce qui impose de réécrire les développements limités à l'ordre $n+q$.
- On obtient$\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)} \stackrel{x \rightarrow 0}{=} \frac{a_p'x^{p-q} + \ldots + a_n'x^n + o(x^n)}{1 + b_1'x\ldots + b_n'x^n + o(x^n)}}$.
- On se retrouve avec un dénominateur qui ne tend pas vers $0$ en $0$.
Remarque: si on a $p < q$, il ne faut pas espérer pouvoir faire un développement limité de la fonction ! En effet, après simplification, on a $\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)} \stackrel{x \rightarrow 0}{\sim} \frac{a_px^{p}}{b_qx^q} = \frac{a_p}{b_q}x^{p-q} \longrightarrow \pm \infty}$.
On ne peut pas trouver d'approximation polynomiale d'une fonction qui tend vers l'infini au voisinage de $0$ car un polynôme tend vers une constante (à savoir son coefficient constant $P(0)$ en $0$).
Par exemple, les fonctions $\displaystyle{x \mapsto \frac{1}{x}}$ ou $x \mapsto \ln(x)$ n'ont pas de développement limité en $0$. Mais la fonction $\displaystyle{x \mapsto \frac{\sin(x)}{x}}$ - même si cette fonction n'est pas définie en $0$ - admet un développement limité en $0$.
