Développements limités (Partie 2)

Théorème : Soit $n \in {\Bbb N}$. Soit $f$ une fonction de classe $\mathrm C^n$ au voisinage de $x_0$. Alors $f$ admet un $\mathrm{DL}_n(x_0)$ donné par la formule :

$\displaystyle{f(x_0+h) \stackrel{h \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k + \mathrm o(h^n)}$

$\displaystyle \stackrel{h \rightarrow 0}{=} f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}h^2 + \ldots$ $+$ $\displaystyle \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} h^n + \mathrm o(h^n)$ ou encore si on revient à la variable originelle $x=x_0+h$ :

$\displaystyle f(x) \stackrel{x \rightarrow x_0}{=} \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$ $(x-x_0)^k + \mathrm o((x-x_0)^n)$

$f(x)\displaystyle \stackrel{x \rightarrow x_0}{=} f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ $+$ $\displaystyle \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \ldots$ $+$ $\displaystyle \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \mathrm o((x-x_0)^n)$.

Exemple :

Déterminons un $\mathrm{DL}_2(1)$ de $\arctan$.

On effectue le changement de variable $h=x-1$. On a alors $\arctan(x) = \arctan(h+1)$. Il n'y a pas de formule simple qui permettrait (comme dans le cas de cosinus ou sinus) d'exprimer $\arctan(h+1)$ en fonction de $\arctan(h)$ et $\arctan(1)$. Nous allons donc utiliser la formule de Taylor-Young.

Dans le cas de notre exemple, $x_0=1$. On a :

$\begin{array}{lll}
\scriptstyle \arctan(1) & \scriptstyle = & \frac{\pi}{4}\\
\scriptstyle \arctan'(x) & \scriptstyle = & \scriptstyle \frac{1}{1+x^2} \rightarrow \arctan'(1) = \frac{1}{2}\\
\scriptstyle \arctan^{(2)}(x) & = & -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \rightarrow \scriptstyle \arctan^{(2)}(1) = -\frac{1}{2}.\\
\end{array}$

On obtient donc $\displaystyle{\arctan(h+1) \stackrel{h \rightarrow 0}{=} \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}h - \frac{1}{4}h^2 + \mathrm o(h^2)}$ ou $\displaystyle \arctan(x) \stackrel{x \rightarrow 1}{=} \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$ $\displaystyle (x-1) - \frac{1}{4}(x-1)^2 + \mathrm o((x-1)^2)$.

Théorème 1 :

Si $f$ admet un développement limité en $x_0$, alors $f$ est équivalent en $x_0$ au premier terme (non nul) de son développement limité. On obtient un équivalent du genre : $f(x) \stackrel{x \rightarrow x_0}{\sim} a_p(x-x_0)^p \mbox{ avec }a_p \neq 0$.

Théorème 2 :

Si $f(x) \stackrel{x \rightarrow x_0}{\sim} g(x)$, alors si $g$ admet une limite en $x_0$, il en est de même pour $f$ et $\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0}{g(x)}$.

Méthode pour calculer la limite de $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}$.

• On commence par s'assurer que c'est une forme indéterminée.
• Avant d'utiliser les développements limités, on peut éventuellement utiliser les équivalents de référence (ce qui est possible si les seules opérations sont le produit, le quotient, le passage à une puissance réelle constante, c'est-à-dire indépendante de la variable $x$).
• On effectue un développement limité à un ordre suffisant du numérateur afin d'obtenir un équivalent de $f$ en $x_0$.
• On fait de même avec le dénominateur.
• Par quotient, on obtient un équivalent de la fonction $\displaystyle{\frac{f}{g}}$ en $x_0$, puis sa limite éventuelle.

Remarque : pour chercher la limite de $\displaystyle{\frac{f}{g}}$, il est inutile de calculer un développement limité de tout le quotient. On se contente de calculer un développement limité du numérateur et du dénominateur.

Exemple : déterminons $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan x - \sin(2x)}{\sin^3 x}}$.

On pose $\displaystyle{f(x) = \frac{2\tan x - \sin(2x)}{\sin^3 x} = \frac{n(x)}{d(x)}}$. Il s'agit d'une forme indéterminée du type <<$\displaystyle{\frac{0}{0}}$>>.

Comme $\sin(x) \stackrel{0}{\sim} x$, on en déduit que $\sin^3(x) \stackrel{0}{\sim} x^3$. Il s'agit à présent de calculer un développement limité du numérateur. On ira à l 'ordre $3$ car les termes d'ordre $1$ s'annulent et il n'y a pas de terme d'ordre $2$.

Par utilisation des développements limités de référence : $\displaystyle n(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} 2\left(x + \frac{x^3}{3} + \mathrm o(x^3)\right)$ $-$ $\displaystyle \left(2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \mathrm o(x^3)\right) = 2x^3 + \mathrm o(x^3)$.

On en déduit, $n(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{\sim} 2x^3 $ et donc par quotient d'équivalents $f(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{\sim} 2$ puis $\lim_{x\rightarrow 0}f(x) = 2$.

Les termes de degré $\leq 1$ du développement limité d'une fonction permettent d'obtenir l'équation de la tangente.

La position relative de la tangente par rapport à la courbe repose sur le théorème suivant :

Théorème :
Deux fonctions équivalentes au voisinage d'un point sont de même signe au voisinage de ce point.

Méthode :
Soit une fonction $f$ dérivable au voisinage de $x_0$.

• Pour calculer l'équation de la tangente $(\mathrm T)$ au point d'abscisse $x_0$ à la courbe $(\mathrm C): y =f(x)$, on effectue le $\mathrm{DL}_1(x_0)$ de $f$. $f(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} a_0+a_1x + \mathrm o(x).$
  L'équation de $(\mathrm T)$ est alors $y=a_0+a_1x$.
• Pour étudier la position relative de $(\mathrm C)$ par rapport à $(\mathrm T)$, on effectue un $\mathrm{DL}_n(x_0)$ de $f$ avec $n$ au moins égal à $2$. Le signe du premier terme non nul du développement limité de $\delta(x) = f(x) -(a_0+a_1x)$ permet de déterminer la position de $(\mathrm C)$ par rapport à $(\mathrm T)$.

Exemple :

Calculons l'équation de la tangente $(\mathrm T)$ à la courbe $(\mathrm C)$: $y= \ln(x^2+2x+2)$ au point d'abscisse $0$, puis déterminons la position relative de $(\mathrm T)$ par rapport à $(\mathrm C)$.

Notons $f$ la fonction définie par $f(x) = \ln(x^2+2x+2)$. Un développement limité de $f$ à l'ordre $1$ : $f(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} a_0+a_1x+\mathrm o(x)$ est suffisant pour obtenir l'équation de la tangente.

Pour étudier la position relative de $(\mathrm T)$ par rapport à $(\mathrm C)$, on étudie localement (c'est-à-dire au voisinage de $0$ ici) le signe de la fonction $\delta(x) = f(x) - (a_0+a_1x).$

Or on a $\delta(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=}\mathrm o(x)$. L'ordre $1$ ne suffit pas pour déterminer un équivalent de $\delta(x)$ et ainsi son signe. On utilise en effet le fait que deux fonctions équivalentes en un point ont le même signe au voisinage de ce point.

Il faut donc effectuer un développement limité à l'ordre $2$. On se ramène à la fonction de référence $\ln(1+u)$ en écrivant :

$\displaystyle f(x)=\ln\left(2\left(1+x+\frac{1}{2}x^2\right)\right)$ $\displaystyle = \ln(2)+\ln\left(1+x+\frac{1}{2}x^2\right)$.

$\displaystyle{\ln\left(1+x+\frac{1}{2}x^2\right)=\ln(1+u)}$ avec $\displaystyle{u=x+\frac{x^2}{2} \rightarrow 0}$. (Notons que le développement limité de la fonction $\displaystyle{x \mapsto x+\frac{x^2}{2}}$ est elle-même puisque c'est une fonction polynomiale).

On sait que $\displaystyle{\ln(1+u)\stackrel{u \rightarrow 0}{=}u-\frac{u^2}{2} + \mathrm o(u^2)}$.

Le tableau de composition s'écrit alors :

$$\begin{array}{|c|l|}
\hline
\mathrm P(x) & x + \frac{x^2}{2} \\
\hline
\mathrm P^2(x) & x^2 \\
\hline
\mathrm P(x)-\frac{P^2(x)}{2} & x\\
\hline
\end{array}$$

On a donc $f(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} \ln(2) +x + \mathrm o(x^2)$. On en déduit que l'équation de la tangente est $y=\ln(2)+x.$

Le $\mathrm{DL}_2(0)$ de $\delta$ est d'après le calcul précédent :

$\delta(x) = f(x)-\left(\ln(2)+x\right)\stackrel{x \rightarrow 0}{=} 0 + \mathrm o(x^2).$

Il s'avère que l'ordre $2$ n'est pas suffisamment pour pouvoir obtenir un équivalent de $\delta$ au voisinage de $0$. On doit aller à l'ordre $3$.

On sait (ou on retrouve) que $\displaystyle{\ln(1+u) \stackrel{u \rightarrow 0}{=} u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + o(u^3)}$.

Le tableau de composition s'écrit :

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \mathrm P(x) & x + \frac{x^2}{2} \\
\hline
\mathrm P^2(x) & x^2 + x^3\\ \hline
\mathrm P^3(x) & x^3 \\
\hline
\mathrm P(x)-\frac{P^2(x)}{2} + \frac{\mathrm P^3(x)}{3!} & x+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)x^3\\
\hline
\end{array}$$

On a donc $\displaystyle{f(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} \ln(2) +x -\frac{x^3}{6}+o(x^3)}$. On en déduit que
$\displaystyle \delta(x) = f(x)-\left(\ln(2)+x\right)\stackrel{x \rightarrow 0}{=}$ $\displaystyle -\frac{x^3}{6} + o(x^3)$ donc $\displaystyle{\delta(x)\stackrel{x \rightarrow 0}{\sim} -\frac{x^3}{6}}$.

Le signe de $\delta(x)$ est donc celui de $-x^3$ au voisinage de $0$. On en déduit que :

• Au voisinage de $0^+$, la courbe $(\mathrm C)$ est en-dessous de la tangente $(\mathrm T)$
• Au voisinage de $0^-$, la courbe $(\mathrm C)$ est au-dessus de la tangente $(\mathrm T)$.