Résolvons $(\mathrm E) : y''+ y = \cos x$
Les solutions de $(\mathrm E_0) : y''+y=0$ sont les fonctions du type $x \mapsto \mu_1 \cos x + \mu_2 \sin x$.
On introduit l'équation $(\mathrm E_1): y''+ y = \mathrm e^{ix}$ car $\cos(x) = \mathrm e^{ix}$.
On cherche une solution particulière de $(\mathrm E_1)$ sous la forme $x \mapsto \mathrm Q(x)\mathrm e^{ix}$.
On a $\begin{array}{lll}
y(x) = \mathrm Q(x)\mathrm e^{ix}\\
y'(x) = \left[\mathrm Q'(x) + i \mathrm Q(x)\right]\mathrm e^{ix}\\
y''(x) = \left[\mathrm Q''(x) + 2i\mathrm Q'(x) - \mathrm Q(x)\right]\mathrm e^{ix}\end{array}$
On a donc $y''(x)+y(x) = \mathrm e^{ix} \iff$ $\, (\star) \, \mathrm Q''(x) + 2i\mathrm Q' = 1$.
On cherche un polynôme de degré $1$: $\mathrm Q(x)=ax+b$ est solution de l'équation $(\star)$ si et seulement si $\forall x \in {\Bbb R}$ : $\displaystyle{2 i a = \iff a=-\frac{i}{2}}$.
Une solution particulière de $(\mathrm E_1)$ est donc $\displaystyle{y: x\mapsto -\frac{i}{2}\mathrm e^{ix}}$. D’après un théorème, $\mathrm{Re}(y)$ une solution particulière de $(\mathrm E)$.
Or $\displaystyle{\mathrm{Re}(y):x\mapsto \frac{x}{2}\sin x}$.
Les solutions de $(\mathrm E)$ sont toutes les fonctions du type $\displaystyle{x \mapsto \frac{x}{2}\sin x + \mu_1 \cos x + \mu_2 \sin x}$ avec $(\mu_1, \mu_2) \in {\Bbb R}^2$.