Familles sommables

• Utiliser la définition :

Un ensemble est dénombrable s’il est en bijection avec $\mathrm{\mathbb N}$.

Théorème :

Un ensemble est fini ou dénombrable si et seulement s’il est en bijection avec une partie de $\mathbb N$.

• Utiliser des opérations :

Théorème :

1. Un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
2. Une réunion finie ou dénombrable d’ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.

• Identifier des ensembles dénombrables connus :

Les ensembles $\mathbb N^2$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$ sont dénombrables.

Définition :

Soit $(u_{i})_{i\in \rm I}$ famille de réels positifs et $\mathrm{I}$ dénombrable.
La famille $(u_{i})_{i\in \rm I}$ est dite sommable si, pour tout $\mathrm{F}$ partie finie de $\mathrm{I}$, l’ensemble des sommes $\displaystyle\sum_{i\in \rm F}u_{i}$ est majoré.
Dans ce cas, $\displaystyle\sum_{i\in \rm I}u_{i} = \sup_{\mathrm F \text{ finie } \subset~ \mathrm I}\sum_{i\in \rm F}u_{i}$, sinon $\displaystyle\sum_{i\in \mathrm I}u_{i}=+\infty$.

Théorème de sommation par paquets :

Soient $(u_{i})_{i\in \rm I}$ famille de réels positifs et $\displaystyle (\mathrm I_n)_{n\in \mathbb N}$ partition de $\mathrm{I}$ (pour tous $n\neq m$, $\displaystyle\mathrm I_n \cap\mathrm I_m =\emptyset$ et $\displaystyle\displaystyle \cup_{n\in\mathbb N}\mathrm I_n=\rm I)$.

Il y a équivalence entre :

1. La famille $(u_{i})_{i\in \rm I}$ est sommable.
2. Chaque famille $(u_{i})_{i\in \rm \rm I_n}$ est sommable.

Et la série $\displaystyle\sum \left(\sum_{i\in \mathrm I_n}u_i\right)$ converge.
Dans ce cas $\displaystyle \sum_{i\in \rm I}u_{i}$ $\displaystyle= \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sum_{i\in \mathrm I_n}u_{i}\right)$.

Définition :

Soit $(u_{i})_{i\in \rm I}$ famille de nombres réels ou complexes et $\mathrm{I}$ dénombrable.
La famille $(u_{i})_{i\in \rm I}$ est dite sommable, si la famille $(|u_{i}|)_{i\in \rm I}$ l’est.

Théorème :

S’il existe une famille de réels positifs $(v_{i})_{i\in \rm I}$ sommable vérifiant pour tout $i\in \rm I$, $|u_i|\leq v_{i}$, alors la famille $(u_{i})_{i\in \rm I}$ est sommable.

Théorème :

Si $\mathrm{I=\mathbb N}$, il y a équivalence entre :

1. La famille $(u_{i})_{n\in \mathbb N}$ est sommable
2. $\displaystyle\sum u_{n}$ converge absolument.

Théorème: Soit $\rm I$ un ensemble dénombrable et deux familles de nombres complexes sommables $(u_i)_{i\in \rm I}$ et $(v_i)_{i\in \rm I}$.

Pour tout couple $(\lambda,\gamma)\in\mathbb C^2$, $(\lambda u_i +\gamma v_i)_{i\in \rm I}$ est sommable et $\displaystyle\sum_{i\in \rm I}(\lambda u_i +\gamma v_i)= \lambda \sum_{i\in \rm I}u_i + \gamma \sum_{i\in \rm I}v_i $.

Théorème :

Soit $(u_{m,n}){_{(m,n)\in\mathbb N^2}}$ une famille de réels ou complexes. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

1. La famille $(u_{m,n}){_{(m,n)\in\mathbb N^2}}$ est sommable.
2. Pour tout $n\in\mathbb N$, la série $\displaystyle \sum_{m} |u_{m,n}|$ converge et la série $\displaystyle \sum_{n} \sum_{m=0}^{+\infty}$ $\displaystyle|u_{{m,n}}|$ converge.

Dans ce cas, $\displaystyle \sum_{(m,n)\in\mathbb N^2}u_{m,n}$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sum_{m=0}^{+\infty}u_{m,n}\right)$ $\displaystyle = \sum_{m=0}^{+\infty}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_{m,n}\right).$
Il s’agit de la formule de Fubini.

Définition: Soit $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb N} a_n$ et $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb N} b_n$ deux séries de nombres complexes.

On appelle produit de Cauchy de ces séries, la série qui a pour terme général $c_n=\displaystyle \sum_{ k=0}^n a_k b_{n−k}$.

Théorème: Soit $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb N} a_n$ et $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb N} b_n$ deux séries de nombres complexes absolument convergentes.

Soit $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb N} c_n$ la série produit de Cauchy de ces deux séries.

Alors $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb N} c_n$ est absolument convergente et $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} c_n=(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n) \times ( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n)$.