Soit $\mathbb U=\{z\in\mathbb C/|z|=1\}$.
$\mathbb U$ est le cercle trigonométrique de centre 0 et de rayon 1 (cercle unité).
On peut aussi paramétrer $\mathbb U$ avec l’exponentielle : $\mathbb U=\{\mathrm e^{i\theta}/\theta\in \mathbb R\}$.
Définition et théorème : tout nombre complexe non nul peut s'écrire sous la forme dite exponentielle $z = \rho \mathrm e^{i\theta}$ avec $\theta$ un réel appelé un argument de $z$ et $\rho$ un réel strictement positif égal au module de $z$.
Remarque : $\rho$ est unique mais $\theta$ n'est défini que modulo $2\pi$ ce qui veut dire que si $\theta$ est un argument de $z$ alors $\theta + 2k\pi$ avec $k$ un entier relatif est encore un argument.
La forme trigonométrique de $z$ s’écrit aussi : $z=\rho (cos(\theta)+i\sin(\theta))$.
Si le nombre est particulier, il faut placer mentalement le nombre dans le plan complexe.
Par exemple, $z=5$ est sur l'axe réel positif donc un argument est $0$ et son module est $5$ donc $z = 5\mathrm e^{i0}$.
$z=-3$ est sur l'axe réel négatif donc un argument est $\pi$ et son module est $3$ donc $z = 3\mathrm e^{i\pi}$.
$z=-13i$ est sur l'axe imaginaire négatif donc un argument est $\displaystyle{-\frac{\pi}{2}}$ $\left(\text{ou } \displaystyle{\frac{3\pi}{2}}\right)$ et son module est $13$ donc $\displaystyle{z = 13 \mathrm e^{-i\frac{\pi}{2}}}$.
Propriétés : En notant $\mbox{arg}(z)$ l’argument du complexe $z$, on a pour $z, z’$ des nombres complexes :
$\mbox{arg}(z\times z’)=\mbox{arg}(z)+\mbox{arg}(z’) [2\pi]$
$\mbox{arg}\left(z^n\right)=n \cdot\mbox{arg}(z)[2\pi]$
$\mbox{arg}\left(\dfrac{z}{ z’}\right)=\mbox{arg}(z)-\mbox{arg}(z’) [2\pi]$