Définition : Un élément simple est une fraction rationnelle de la forme $\dfrac{\rm P}{\mathrm Q^k}$, où $\rm Q$ est un polynôme unitaire irréductible de $\rm \mathbb K[X]$, $k\geq 1$ et $\rm deg(P)< deg(Q)$.
Par exemple sur $\mathbb C$, un élément simple est de la forme $\dfrac{a}{(\mathrm X−\alpha)^k}$, où $a$ et $\alpha$ sont dans $\mathbb C$ et $k\in\mathbb N^*$.
Théorème : Tout élément de $\rm \mathbb C(X)$ admet une unique décomposition en éléments simples.
Soit $\rm F=\dfrac{P}{Q}$ une fraction rationnelle sous forme irréductible dans $\rm \mathbb C(X)$ avec $\mathrm{Q(X)} = (\mathrm X−\alpha_1)^{n_1}\ldots (\mathrm X−\alpha_k)^{n_k}$.
On peut décomposer $\rm F$ sous la forme :
$\mathrm{F(X)} = \mathrm{E(X)} + \displaystyle\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_k}\frac{a_{i,j}}{(\mathrm X-\alpha_i)^j}$
Où $\rm E$ est un polynôme, appelé partie entière et les $a_{i,j}$ sont des nombres complexes.
La partie entière $\rm E$ s'obtient comme quotient de la division euclidienne de $\rm P$ par $\rm Q$.
En pratique : Si $\alpha_i$ est un pôle simple, pour obtenir la valeur de $a_{i,i}$, on peut considérer $(\mathrm X-\alpha_i) \rm F(X)$ et regarder sa valeur en $\alpha_{i}$.
Remarque : La décomposition en éléments simples sert en particulier dans le calcul de primitives.
Théorème : Tout élément de $\rm \mathbb R(X)$ admet une unique décomposition en éléments simples.
Soit $\rm F=\dfrac{P}{Q}$ une fraction rationnelle sous forme irréductible dans $\rm \mathbb R(X)$ avec $\mathrm{Q(X)} = (\mathrm{Q_1(X)})^{n_1}\ldots(\mathrm Q_k(\mathrm X))^{n_k}$.
On peut décomposer $\rm F$ sous la forme :
$\mathrm{F(X) =E(X)} + \displaystyle \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_k}\dfrac{\mathrm P_{i,j}(\mathrm X)}{(\mathrm Q_i(\mathrm X))^j}$
Où $\rm E$ est un polynôme, appelé partie entière et $\mathrm{deg(P}_{i,j}) < \mathrm{deg(Q}_i)$.
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