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Généralités sur les suites

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Notations

$(u_n)$ ou $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ désigne une suite, c’est-à-dire une application de $\mathbb N$ dans $\mathbb R$ (pour une suite réelle).

$u_n$ désigne un terme de la suite, c’est donc un nombre.

On utilise les abréviations suivantes :

CV = converge ou convergente ou convergence

DV = diverge ou divergente divergence

APCR = à partir d'un certain rang

Méthode 1 : Étudier les propriétés d’une suite

Une suite $(u_n)$ est majorée si et seulement s’il existe $\rm M\in\mathbb R$ tel que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\leq \rm M$.

Une suite $(u_n)$ est minorée si et seulement s’il existe $m\in\mathbb R$ tel que pour tout $n\in\mathbb N$, $m\leq u_n$.

Une suite $(u_n)$ est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée si et seulement si $(|u_n|)$ est majorée.

Une suite $(u_n)$ est croissante si et seulement si pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n \leq u_{n+1}$.

Une suite $(u_n)$ est décroissante si et seulement si pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}\leq u_{n}$.

Une suite $(u_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Une suite $(u_n)$ est stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang.

Méthode 2 : Étudier la convergence d’une suite

Définition : On dit qu’une suite $(u_n)$ converge vers un réel $l\in\mathbb R$ si pour tout $\epsilon>0$, il existe $n_0\in\mathbb N$, tel que pour tout $n\geq n_0$, $|u_n-l|\leq \epsilon$.

Remarque : S’il n’existe pas de réel $l$ vérifiant cette propriété, on dit que la suite $(u_n)$ diverge : soit la suite n’admet pas de limite, soit la suite tend vers l’infini.

Théorème : La limite d’une suite convergente est unique.

Théorème : Toute suite convergente est bornée.

Théorèmes de l’encadrement :

  • Si $v_n \le u_n \le w_n$ $\rm APCR$ et si $(v_n)$ et $(w_n)$ $\rm CV$ vers $l$ alors $(u_n)$ $\rm CV$ vers $l$.
  • Si $u_n \le w_n$ $\rm APCR$ et si $(w_n)$ $\rm DV$ vers $-\infty$ alors $(u_n)$ $\rm DV$ vers $-\infty$.
  • Si $v_n \le u_n$ $\rm APCR$ et si $(v_n)$ DV vers $+\infty$ alors $(u_n)$ $\rm DV$ vers $+\infty$.

Théorème de la limite monotone :

  • Si $(u_n)$ est croissante et majorée alors $(u_n)$ $\rm CV$.
  • Si $(u_n)$ est croissante et non majorée alors $(u_n)$ $\rm DV$ vers $+\infty$.
  • Si $(u_n)$ est décroissante et minorée alors $(u_n)$ $\rm CV$.
  • Si $(u_n)$ est décroissante et non minorée alors $(u_n)$ $\rm DV$ vers $-\infty$.

Remarque : ce théorème ne permet pas de déterminer la limite de en cas de $\rm CV$.

Théorème de passage à la limite :

Si $\forall n \in {\Bbb N}, u_n \ge 0$ et si la suite $(u_n)$ CV alors $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty} u_n \ge 0}$.

Remarque : le passage à la limite ne conserve pas les inégalités strictes. Par exemple, $\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N}^*, \frac{1}{n} >0}$ mais $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} = 0}$ n'est pas strictement positive !

Méthode 3 : Étudier des suites adjacentes

Définition :

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

a) $(u_n)$ est croissante
b) $(v_n)$ est décroissante
c) $(v_n - u_n)$ converge vers $0$

Théorème : Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.

Méthode 4 : Étudier des suites extraites

DéfinitionUne suite extraite de la suite $(u_n)$ est une suite $(x_n) = (u_{\varphi(n)})$ où $\varphi$ est une application strictement croissante de ${\Bbb N}$ dans ${\Bbb N}$.

Les suites extraites sont utilisées pour montrer la DV d'une suite. On se base sur le théorème suivant :

  • si $(u_n)$ CV vers $l$ alors toutes ses sous-suites CV vers $l$.

Exemple : $(u_n) = ((-1)^n)$ diverge car la sous-suite $(u_{2n}) = (1)$ CV vers $1$ et la sous-suite  $(u_{2n+1}) = (-1)$ CV vers $-1$. Si $(u_n)$ convergeait alors les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ devraient converger vers la même limite ce qui n'est pas le cas.

Théorème : si la sous-suite paire $(u_{2n})$ et la sous-suite impaire $(u_{2n+1})$ converge vers la même limite alors la suite $(u_n)$ converge vers cette limite.

Théorème de Bolzano-Weierstrass : De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente.

Méthode 5 : Étudier des suites complexes

Définitions : Une suite complexe $(u_n)$ est de la forme $x_n+iy_n$ où $(x_n)$ et $(y_n)$ sont des suites à valeurs réelles.

Une suite complexe $(u_n)$ est bornée si et seulement si $(|u_n|)$ est majorée.

Théorème : Une suite complexe converge si et seulement ses suites parties réelle et imaginaire convergent.

Théorème de Bolzano-Weierstrass : De toute suite complexe bornée, on peut extraire une suite convergente.

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