Définition : On dit qu’une suite $(u_n)$ converge vers un réel $l\in\mathbb R$ si pour tout $\epsilon>0$, il existe $n_0\in\mathbb N$, tel que pour tout $n\geq n_0$, $|u_n-l|\leq \epsilon$.
Remarque : S’il n’existe pas de réel $l$ vérifiant cette propriété, on dit que la suite $(u_n)$ diverge : soit la suite n’admet pas de limite, soit la suite tend vers l’infini.
Théorème : La limite d’une suite convergente est unique.
Théorème : Toute suite convergente est bornée.
Théorèmes de l’encadrement :
- Si $v_n \le u_n \le w_n$ $\rm APCR$ et si $(v_n)$ et $(w_n)$ $\rm CV$ vers $l$ alors $(u_n)$ $\rm CV$ vers $l$.
- Si $u_n \le w_n$ $\rm APCR$ et si $(w_n)$ $\rm DV$ vers $-\infty$ alors $(u_n)$ $\rm DV$ vers $-\infty$.
- Si $v_n \le u_n$ $\rm APCR$ et si $(v_n)$ DV vers $+\infty$ alors $(u_n)$ $\rm DV$ vers $+\infty$.
Théorème de la limite monotone :
- Si $(u_n)$ est croissante et majorée alors $(u_n)$ $\rm CV$.
- Si $(u_n)$ est croissante et non majorée alors $(u_n)$ $\rm DV$ vers $+\infty$.
- Si $(u_n)$ est décroissante et minorée alors $(u_n)$ $\rm CV$.
- Si $(u_n)$ est décroissante et non minorée alors $(u_n)$ $\rm DV$ vers $-\infty$.
Remarque : ce théorème ne permet pas de déterminer la limite de en cas de $\rm CV$.
Théorème de passage à la limite :
Si $\forall n \in {\Bbb N}, u_n \ge 0$ et si la suite $(u_n)$ CV alors $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty} u_n \ge 0}$.
Remarque : le passage à la limite ne conserve pas les inégalités strictes. Par exemple, $\displaystyle{\forall n \in {\Bbb N}^*, \frac{1}{n} >0}$ mais $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} = 0}$ n'est pas strictement positive !