go-back Retour

Groupes

📝 Mini-cours GRATUIT

Méthode 1 : Montrer que (G, ★), avec G un ensemble et ★ une loi de composition interne, est un groupe

Utiliser la définition d’un groupe :

est associative : pour tous a,b,cG, (ab)c=a(bc)

possède un élément neutre unique : il existe eG, tel que pour tout aG, ae=a=ea

Tout élément de G est inversible par : pour tout aG, il existe bG tel que ab=e=ba. b est unique et appelé inverse de a noté a1.

Identifier G comme un produit de groupes :

Soient (G1,1),,(Gn,n) des groupes avec pour éléments neutres e1,,en, alors G=G1××Gn muni de la loi produit (définie par (x1,,xn)(y1,,yn) =(x1y1,,xnyn)) est un groupe de neutre e=(e1,,en).

Identifier G comme un groupe connu :

Les groupes (C,+), (R,+), (Z,+) sont des groupes abéliens (commutatifs) de neutre 0.
Les groupes (C,×), (R,×) sont des groupes abéliens de neutre 1.

Remarque : Un groupe G est commutatif, c’est-à-dire abélien, si la loi de composition est commutative, donc si pour tous a,bG, ab=ba.

Identifier G comme le sous-groupe d’un groupe :

Soit (H,) un groupe.
Si G est un sous-groupe de (H,), alors (G,) est un groupe de même neutre.

Remarque :

G, partie de H, est un sous-groupe de (H,) si :

  • eG
  • Pour tous x,yG, xy1G (G est stable par passage au produit et par passage à l’inverse).

Remarque :

Les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ avec nN.

Méthode 2 : Montrer que φ est un morphisme avec φ : G → G’ et (G, ★) et (G’, T) deux groupes

Utiliser la définition d’un morphisme :

Pour tous $x,y \in \rm G$, $\varphi(x\star y)=\varphi(x)\mathrm T\varphi(y)$.

Remarques :

Un morphisme d’un groupe vers lui-même est appelé endomorphisme.
Un isomorphisme de groupes est un morphisme bijectif.

Identifier une composition de morphismes :

Soient $\varphi : \rm G\to G’$ et $\psi : \rm G’\to G’’$ deux morphismes de groupes.
Alors $\psi \circ \varphi : \rm G \to G''$ est un morphisme de groupes.

Identifier des morphismes connus :

  • La fonction $\ln$ est un morphisme de $(\mathbb R^{+*},\times)$ vers $(\mathbb R,+)$
  • Le déterminant est un morphisme de $\rm(GL_n(\mathbb K),\times)$ vers $(\mathbb K^*,\times)$

Méthode 3 : Étudier le noyau et l’image d’un morphisme

Soit $\varphi : \rm (G,\star)\to (G’,T)$ un morphisme de groupes.

$\rm \ker \varphi=\varphi^{-1}(\{e’\})\\ Im \varphi =\varphi(G)$

Remarque :

  • $\ker \varphi$ est un sous-groupe de $\rm (G,\star)$ et $\rm Im \varphi$ est un sous-groupe de $\rm (G’,T)$.
  • $\varphi$ est injectif si et seulement si $\rm \ker \varphi=\{e\}$
  • $\varphi$ est surjectif si et seulement si $\rm Im \varphi=G’$

🎲 Quiz GRATUIT

NOMAD EDUCATION

L’app unique pour réussir !