Utiliser la définition d’un groupe :
$\star$ est associative : pour tous $\rm a, b, c \in G$, $\rm (a \star b) \star c= a \star (b \star c)$
$\star$ possède un élément neutre unique : il existe $\rm e\in G$, tel que pour tout $\rm a\in G$, $\rm a \star e = a = e \star a$
Tout élément de $\rm G$ est inversible par $\star$ : pour tout $\rm a \in G$, il existe $\rm b \in G$ tel que $\rm a \star b= e =b \star a$. $\rm b$ est unique et appelé inverse de $\rm a$ noté $\rm a^{-1}$.
Identifier $\bf G$ comme un produit de groupes :
Soient $\rm (G_1,\star_1),\ldots,(G_n,\star_n)$ des groupes avec pour éléments neutres $\rm e_1,\ldots,e_n$, alors $\rm G=G_1 \times \ldots \times G_n$ muni de la loi produit $\star$ (définie par $(x_1,\ldots,x_\mathrm n) \star (y_1,\ldots,y_\mathrm n)$ $=(x_1\star y_1,\ldots,x_\mathrm n\star y_\mathrm n))$ est un groupe de neutre $\rm e=(e_1,\ldots,e_n)$.
Identifier $\bf G$ comme un groupe connu :
Les groupes $(\mathbb C,+)$, $(\mathbb R, +)$, $(\mathbb Z, +)$ sont des groupes abéliens (commutatifs) de neutre $0$.
Les groupes $(\mathbb C^*,\times)$, $(\mathbb R^*,\times)$ sont des groupes abéliens de neutre $1$.
Remarque : Un groupe $\rm G$ est commutatif, c’est-à-dire abélien, si la loi de composition $\star$ est commutative, donc si pour tous $a,b\in \rm G$, $a\star b=b\star a$.
Identifier $\bf G$ comme le sous-groupe d’un groupe :
Soit $\rm (H,\star)$ un groupe.
Si $\rm G$ est un sous-groupe de $\rm (H,\star)$, alors $\rm (G,\star)$ est un groupe de même neutre.
Remarque :
$\rm G$, partie de $\rm H$, est un sous-groupe de $\rm (H,\star)$ si :
- $\rm e\in G$
- Pour tous $x,y \in \rm G$, $x\star y^{-1}\in \rm G$ ($\rm G$ est stable par passage au produit et par passage à l’inverse).
Remarque :
Les sous-groupes de $(\mathbb Z,+)$ sont les $\rm n\mathbb Z$ avec $\rm n\in \mathbb N$.