Utiliser la définition d’un groupe :
⋆ est associative : pour tous a,b,c∈G, (a⋆b)⋆c=a⋆(b⋆c)
⋆ possède un élément neutre unique : il existe e∈G, tel que pour tout a∈G, a⋆e=a=e⋆a
Tout élément de G est inversible par ⋆ : pour tout a∈G, il existe b∈G tel que a⋆b=e=b⋆a. b est unique et appelé inverse de a noté a−1.
Identifier G comme un produit de groupes :
Soient (G1,⋆1),…,(Gn,⋆n) des groupes avec pour éléments neutres e1,…,en, alors G=G1×…×Gn muni de la loi produit ⋆ (définie par (x1,…,xn)⋆(y1,…,yn) =(x1⋆y1,…,xn⋆yn)) est un groupe de neutre e=(e1,…,en).
Identifier G comme un groupe connu :
Les groupes (C,+), (R,+), (Z,+) sont des groupes abéliens (commutatifs) de neutre 0.
Les groupes (C∗,×), (R∗,×) sont des groupes abéliens de neutre 1.
Remarque : Un groupe G est commutatif, c’est-à-dire abélien, si la loi de composition ⋆ est commutative, donc si pour tous a,b∈G, a⋆b=b⋆a.
Identifier G comme le sous-groupe d’un groupe :
Soit (H,⋆) un groupe.
Si G est un sous-groupe de (H,⋆), alors (G,⋆) est un groupe de même neutre.
Remarque :
G, partie de H, est un sous-groupe de (H,⋆) si :
- e∈G
- Pour tous x,y∈G, x⋆y−1∈G (G est stable par passage au produit et par passage à l’inverse).
Remarque :
Les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ avec n∈N.