Soit E un K-espace vectoriel.
Définition: Une forme linéaire sur E est une application linéaire définie sur E à valeurs dans K.
Définition: Un hyperplan est le noyau d’une forme linéaire non nulle.
Théorème:
Si H est un hyperplan de E et D une droite non contenue dans H, alors E=H⊕D.
Réciproquement, tout supplémentaire d’une droite est un hyperplan.
Théorème : On suppose que E est de dimension finie n∈N. Soit B=(e1,…,en) une base de E. Soit (x1,…,xn) les coordonnées d’un vecteur quelconque x de E dans cette base.
H est un hyperplan de E si et seulement si H admet une équation cartésienne de la forme n∑i=1aixi=0 où les ai appartiennent à K.
H est un hyperplan de E si et seulement H est de dimension n−1.
Théorème: Si E est un espace de dimension finie n, l’intersection de m hyperplans est de dimension au moins n–m.
Réciproquement, tout sous-espace de E de dimension n−m est l’intersection de m hyperplans.