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Hyperplans et sous-espaces affines

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Méthode 1 : Étudier des hyperplans

Soit E un K-espace vectoriel.

Définition: Une forme linéaire sur E est une application linéaire définie sur E à valeurs dans K.

Définition: Un hyperplan est le noyau d’une forme linéaire non nulle.

Théorème:

Si H est un hyperplan de E et D une droite non contenue dans H, alors E=HD.

Réciproquement, tout supplémentaire d’une droite est un hyperplan.

Théorème : On suppose que E est de dimension finie nN. Soit B=(e1,,en) une base de E. Soit (x1,,xn) les coordonnées d’un vecteur quelconque x de E dans cette base.

H est un hyperplan de E si et seulement si H admet une équation cartésienne de la forme ni=1aixi=0 où les ai appartiennent à K.

H est un hyperplan de E si et seulement H est de dimension n1.

Théorème: Si E est un espace de dimension finie n, l’intersection de m hyperplans est de dimension au moins nm.

Réciproquement, tout sous-espace de E de dimension nm est l’intersection de m hyperplans.

Méthode 2 : Étudier des sous-espaces affines

Définition : Un ensemble $\mathcal E$ est un espace affine s’il existe un espace vectoriel $\rm E$ et une application de $\mathcal E \times \rm E$ dans $\mathcal E$ qui au point $\rm A$ et au vecteur $\vec u$ associe $\mathrm A+\vec u$ tel que :

  • $\rm \forall A\in\mathcal E$, $\forall \vec u, \vec v\in\rm E$, $(\mathrm A+\vec u)+\vec v=\mathrm A+(\vec u+\vec v)$
  • $\rm \forall (A,B)\in \mathcal E^2$, il existe un unique $\vec u \in \rm E$ tel que $\mathrm A+\vec u=\rm B$

Remarque : $\rm A+\vec{u}=B$ équivaut à $\vec{u}=\vec{\rm AB}$.

L’application qui au point $\rm A$ associe $\mathrm A+\vec{u}$ est appelée translation de vecteur $\vec{u}$.

$\rm E$ est appelé direction de l’espace affine $\mathcal E$, que l’on peut aussi noter $\vec{\mathcal E}$.

Définition : Une partie $\rm F$ d’un espace affine $\rm E$ est un sous-espace affine s’il est vide ou s’il contient un point $\rm A$ tel que $\rm \vec{F}=\{\vec{AB}~ ; B\in F\}$ est un sous-espace vectoriel de $\rm E$.

Propriété : Soit $\rm F$ un sous-espace affine de $\rm E$.
$\rm F$ s’écrit de façon unique $\mathrm F=\{\mathrm A+\vec x/\vec x\in \vec{\rm F}\}=\rm A+\vec F$ avec $\rm A$ un point de $\rm E$ et $\vec F$ direction de $\rm F$ sous-espace vectoriel de $\rm E$.

Définitions :

  • La dimension du sous-espace affine $\rm F$ est la dimension de $\rm \vec F$.
  • Les sous-espaces affines de dimension $0$ sont les points.
  • Les sous-espaces affines de dimension $1$ sont les droites (affines).
  • Les sous-espaces affines de dimension $2$ sont les plans (affines).
  • Les sous-espaces affines de dimension $n-1$ sont les hyperplans affines.

Méthode 3 : Étudier des équations linéaires

Théorème:

Soit une application linéaire $u: \rm E\to F$ et un vecteur $a\in \rm F$.
L’équation $u(x) =a$ d’inconnue $x\in \rm E$ est appelée équation linéaire.
On note $\rm S$ l’ensemble des solutions de cette équation.
Si $a\notin \mathrm{Im} u$, $\rm S=\emptyset$.
Si $a\in \mathrm{Im} u$, $\mathrm S=\{x_0+c~;c\in \ker u\}$ où $x_0$ est une solution particulière de l’équation.
$S$ est le sous-espace affine de $\rm E$ dirigé par $\mbox{ker }u$.

Résolution : Pour résoudre une équation linéaire, il faut donc :

  • Trouver une solution particulière de l’équation $x_0$.
  • Résoudre l’équation homogène associée qui donnera un ensemble $\rm X$.
  • Obtenir l’ensemble des solutions $\mathrm S=x_0+\rm X$.

Remarque : les équations différentielles linéaires du premier ordre et du second ordre sont donc des exemples de ce genre d’équations.

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