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Limites et continuité

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Méthode 1 : Étudier la limite de fonctions réelles

On considère une fonction f définie sur un intervalle I.

La notation limxx0f(x)=a signifie que f admet a pour limite en x0.

Remarque :

a peut désigner un nombre, ou + ou .

La notation xx+0 (respectivement xx0) signifie que x tend vers x0 par valeurs supérieures (respectivement inférieures). 

Ainsi, on définit limxx+0f(x)=a et respectivement limxx0f(x)=a que l’on appelle limite à droite (respectivement à gauche) en x0.

Propriétés :

Une fonction f admet une limite a en x0, si et seulement si, elle admet a pour limite à droite et à gauche de x0.

Si limxx+0f(x)limxx0f(x) alors f n’a pas de limite en x0.

Exemple :

x1x n’a pas de limite en 0.

Propriété : Si f possède une limite finie en x0, f est bornée au voisinage de x0.

Théorème : Caractérisation séquentielle de la limite

f admet a pour limite en x0 si et seulement si pour toute suite de points (xn) de I qui tend vers x0, la suite (f(xn)) tend vers a.

Théorème de la limite monotone : Soit f fonction croissante sur ]a ;b[.

Les limites de f à droite en a et à gauche en b existent et vérifient :

limxa+f(x)=inf]a ; b[f

limxbf(x)=sup]a ; b[f

Règles de domination :

  • Au voisinage de l’infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré.
    Exemple : limx+(3x2+5x+6) =limx+(3x2) =
  • Au voisinage de l'infini, le quotient de deux polynômes (fraction rationnelle) se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré.
    Exemple : limxx2+4x3+2x2+3x =limx4x3x2 =limx4x=

Asymptotes :

Une droite asymptote à une courbe est une droite telle que, lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers l'infini, la distance de la courbe à la droite tend vers 0.

Une fonction f admet :

  • une asymptote verticale d’équation x=x0 lorsque limxx0f(x)=± ;
  • une asymptote horizontale d’équation y=l lorsque limx±f(x)=l.

Méthode 2 : Étudier la continuité de fonctions réelles

On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $\rm I$.

Continuité en un point :

La fonction est continue au point $x_0 \in\rm I$ si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = f(x_0)}$.

(Cela demande donc déjà que la limite existe.)

Remarque : la continuité de $f$ en $x_0$ présuppose implicitement que $f$ est déjà définie en $x_0$. Si $f$ n'est pas définie en $x_0$ mais que la limite $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)}$ existe, on dit alors que $f$ est prolongeable par continuité en $x_0$.

Par exemple, la fonction $\displaystyle{f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)}$ est définie seulement sur ${\Bbb R}^*$. Elle n'est pas définie en $0$. Cependant $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}f(x) = 0}$ donc $f$ est prolongeable par continuité en $0$ en posant $f(0)=0$. La nouvelle fonction - qu'on appelle encore $f$ - définie par $f(0)=0$ et $\displaystyle f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ pour $x \neq 0$ est à présent continue sur tout ${\Bbb R}$.

Caractérisation séquentielle de la continuité :

$f$ continue en $x_0$ si et seulement si pour toute suite de points $(x_n)$ de $\rm I$ qui converge vers $x_0$, la suite $(f(x_n))$ converge vers $f(x_0)$.

Continuité sur un intervalle :

Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $\rm I$ si $f$ est continue en tout point de cet intervalle.

L’ensemble des fonctions continues sur $\rm I$ est noté $\mathcal C(\rm I)$.

Théorèmes :

Le théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ n'ont pas le même signe, alors $f$ s'annule au moins une fois entre $a$ et $b$.

Si, de plus, on sait que $f$ est strictement monotone, alors $f$ s'annule une unique fois.

Théorème des bornes atteintesSi $f$ est une fonction continue sur un segment alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

Théorème : Une fonction continue sur un intervalle, à valeurs réelles et injective, est strictement monotone.

Théorème de Weierstrass : L’image d’un intervalle par une fonction continue sur cet intervalle est encore un intervalle.

Théorème de la bijection : Toute fonction réelle strictement monotone, définie et continue sur un intervalle, admet une fonction réciproque de même monotonie, définie et continue sur un intervalle.

Méthode 3 : Étudier l’uniforme continuité

Définition : Soit $\rm I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ définie sur $\rm I$ à valeurs réelles. On dit que $f$ est uniformément continue sur $\rm I$ si pour tout $\epsilon>0$, il existe $\delta>0$, tel que pour tous $(x,y)\in I^2$, $|x-y|<\delta$ $\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$.

Théorème : Si une fonction à valeurs réelles est continue sur un segment, elle est uniformément continue.

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