Limites et continuité

On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $\rm I$.

La notation $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=a$ signifie que $f$ admet $a$ pour limite en $x_0$.

Remarque :

$a$ peut désigner un nombre, ou $+\infty$ ou $-\infty$.

La notation $x\to x_0^+$ (respectivement $x\to x_0^-$) signifie que $x$ tend vers $x_0$ par valeurs supérieures (respectivement inférieures). 

Ainsi, on définit $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=a$ et respectivement $\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=a$ que l’on appelle limite à droite (respectivement à gauche) en $x_0$.

Propriétés :

Une fonction $f$ admet une limite $a$ en $x_0$, si et seulement si, elle admet $a$ pour limite à droite et à gauche de $x_0$.

Si $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) \neq \displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) $ alors $f$ n’a pas de limite en $x_0$.

Exemple :

$x\mapsto\displaystyle\frac{1}{x}$ n’a pas de limite en $0$.

Propriété : Si $f$ possède une limite finie en $x_0$, $f$ est bornée au voisinage de $x_0$.

Théorème : Caractérisation séquentielle de la limite

$f$ admet $a$ pour limite en $x_0$ si et seulement si pour toute suite de points $(x_n)$ de $I$ qui tend vers $x_0$, la suite $(f(x_n))$ tend vers $a$.

Théorème de la limite monotone : Soit $f$ fonction croissante sur $]a ~;b[$.

Les limites de $f$ à droite en $a$ et à gauche en $b$ existent et vérifient :

$\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\inf_{]a~ ;~b[}f$

$\displaystyle \lim_{x\to b^-}f(x)=\sup_{]a~ ;~b[}f$

Règles de domination :

• Au voisinage de l’infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré.
  Exemple : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(-3x^2+5x+6)$ $= \displaystyle\lim_{x\to +\infty}(-3x^2)$ $=-\infty$
• Au voisinage de l'infini, le quotient de deux polynômes (fraction rationnelle) se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré.
  Exemple : $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2+4x^3+2}{x^2+3x}$ $= \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{4x^3}{x^2}$ $\displaystyle=\lim_{x\to -\infty}4x=-\infty$

Asymptotes :

Une droite asymptote à une courbe est une droite telle que, lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers l'infini, la distance de la courbe à la droite tend vers $0$.

Une fonction $f$ admet :

• une asymptote verticale d’équation $x=x_0$ lorsque $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\pm \infty$ ;
• une asymptote horizontale d’équation $y=l$ lorsque $\displaystyle\lim_{x\to \pm \infty}f(x)= l$.

On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $\rm I$.

Continuité en un point :

La fonction est continue au point $x_0 \in\rm I$ si $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = f(x_0)}$.

(Cela demande donc déjà que la limite existe.)

Remarque : la continuité de $f$ en $x_0$ présuppose implicitement que $f$ est déjà définie en $x_0$. Si $f$ n'est pas définie en $x_0$ mais que la limite $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)}$ existe, on dit alors que $f$ est prolongeable par continuité en $x_0$.

Par exemple, la fonction $\displaystyle{f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)}$ est définie seulement sur ${\Bbb R}^*$. Elle n'est pas définie en $0$. Cependant $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}f(x) = 0}$ donc $f$ est prolongeable par continuité en $0$ en posant $f(0)=0$. La nouvelle fonction - qu'on appelle encore $f$ - définie par $f(0)=0$ et $\displaystyle f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ pour $x \neq 0$ est à présent continue sur tout ${\Bbb R}$.

Caractérisation séquentielle de la continuité :

$f$ continue en $x_0$ si et seulement si pour toute suite de points $(x_n)$ de $\rm I$ qui converge vers $x_0$, la suite $(f(x_n))$ converge vers $f(x_0)$.

Continuité sur un intervalle :

Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $\rm I$ si $f$ est continue en tout point de cet intervalle.

L’ensemble des fonctions continues sur $\rm I$ est noté $\mathcal C(\rm I)$.

Théorèmes :

Le théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ n'ont pas le même signe, alors $f$ s'annule au moins une fois entre $a$ et $b$.

Si, de plus, on sait que $f$ est strictement monotone, alors $f$ s'annule une unique fois.

Théorème des bornes atteintes : Si $f$ est une fonction continue sur un segment alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

Théorème : Une fonction continue sur un intervalle, à valeurs réelles et injective, est strictement monotone.

Théorème de Weierstrass : L’image d’un intervalle par une fonction continue sur cet intervalle est encore un intervalle.

Théorème de la bijection : Toute fonction réelle strictement monotone, définie et continue sur un intervalle, admet une fonction réciproque de même monotonie, définie et continue sur un intervalle.

Définition : Soit $\rm I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ définie sur $\rm I$ à valeurs réelles. On dit que $f$ est uniformément continue sur $\rm I$ si pour tout $\epsilon>0$, il existe $\delta>0$, tel que pour tous $(x,y)\in I^2$, $|x-y|<\delta$ $\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$.

Théorème : Si une fonction à valeurs réelles est continue sur un segment, elle est uniformément continue.