On considère une fonction f définie sur un intervalle I.
La notation limx→x0f(x)=a signifie que f admet a pour limite en x0.
Remarque :
a peut désigner un nombre, ou +∞ ou −∞.
La notation x→x+0 (respectivement x→x−0) signifie que x tend vers x0 par valeurs supérieures (respectivement inférieures).
Ainsi, on définit limx→x+0f(x)=a et respectivement limx→x−0f(x)=a que l’on appelle limite à droite (respectivement à gauche) en x0.
Propriétés :
Une fonction f admet une limite a en x0, si et seulement si, elle admet a pour limite à droite et à gauche de x0.
Si limx→x+0f(x)≠limx→x−0f(x) alors f n’a pas de limite en x0.
Exemple :
x↦1x n’a pas de limite en 0.
Propriété : Si f possède une limite finie en x0, f est bornée au voisinage de x0.
Théorème : Caractérisation séquentielle de la limite
f admet a pour limite en x0 si et seulement si pour toute suite de points (xn) de I qui tend vers x0, la suite (f(xn)) tend vers a.
Théorème de la limite monotone : Soit f fonction croissante sur ]a ;b[.
Les limites de f à droite en a et à gauche en b existent et vérifient :
limx→a+f(x)=inf]a ; b[f
limx→b−f(x)=sup]a ; b[f
Règles de domination :
- Au voisinage de l’infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré.
Exemple : limx→+∞(−3x2+5x+6) =limx→+∞(−3x2) =−∞ - Au voisinage de l'infini, le quotient de deux polynômes (fraction rationnelle) se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré.
Exemple : limx→−∞x2+4x3+2x2+3x =limx→−∞4x3x2 =limx→−∞4x=−∞
Asymptotes :
Une droite asymptote à une courbe est une droite telle que, lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers l'infini, la distance de la courbe à la droite tend vers 0.
Une fonction f admet :
- une asymptote verticale d’équation x=x0 lorsque limx→x0f(x)=±∞ ;
- une asymptote horizontale d’équation y=l lorsque limx→±∞f(x)=l.