Lois usuelles

La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi uniforme sur un ensemble fini $\rm E$ si :

• Pour tout $\rm X\in E$, $\mathrm{P(X}=x)=\frac{1}{\rm n}$ avec $\rm n=Card(E)$.

On note : $\rm X\sim \mathcal U(E)$

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire dont l’univers associé peut être résumé à deux choix que l’on nommera « succès » et « échec » de probabilités respectives $p$ et $q=1-p$.

La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ (avec $p\in ]0 ;1[$) si :

$\rm P(X=0)=1-p$ et $P(X=1)=p$

On note $\mathrm X\sim \mathcal{B}(p)$.

$\mathrm{E(X)}=p$
$\mathrm{V(X)}=p(1-p)$
$\sigma(\mathrm X)=\sqrt{p(1-p)}$.

Lorsque l’on répète des épreuves de Bernoulli identiques $n$ fois avec des résultats indépendants les uns des autres, on obtient un schéma de Bernoulli.

La variable aléatoire $\rm X$, comptant le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli, suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (avec $n\in\mathbb N^*$ et $p\in ]0~ ;1[$) si :

• Pour tout $k\in [|0,n|]$, $\mathrm{P(X}=k)$ $=\Big(\begin{array}{ll}n\\k \end{array}\Big) p^k(1-p)^{n-k}$ $=\mathrm C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$.

On note $\mathrm X\sim \mathcal{B}(n,p)$.

$\mathrm{E(X)}=np$
$\mathrm{V(X)}=np(1-p)=npq$
$\sigma(\mathrm X)=\sqrt{npq}$.

Théorème : La somme de $n$ variables aléatoires de Bernoulli mutuellement indépendantes et de même espérance $p$ suit la loi binomiale $\mathrm B(n, p)$.