Polynômes (partie 1)

On considère que $\mathbb K$ représente $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

On note $\rm \mathbb K[X]$ l’anneau des polynômes à coefficients dans $\rm \mathbb K$.

Tout élément de $\rm \mathbb K[X]$ s’écrit sous la forme $\displaystyle\rm \sum_{i\geq 0}a_iX^i$ où les $\rm a_i$ sont nuls à partir d’un certain rang.

Définition : Si $\rm P=\displaystyle\sum_{i\geq 0}a_iX^i$ n’est pas le polynôme nul et si $\rm n\in\mathbb N$ est le plus grand indice tel que $\rm a_n\neq 0$, on définit :

• Degré de $\rm P = \deg P = n$.

Par convention, $\deg 0 = -\infty$.

• Coefficient dominant de $\rm P=a_n$.

Un polynôme est dit unitaire lorsque son coefficient dominant est égal à $1$.

Propriété :

Soit $\rm P,Q\in \mathbb K$.

$\rm \deg(P+Q)\leq max(\deg P,\deg Q)$

$\rm \deg (PQ)=\deg P+ \deg Q$.

Définition : Deux polynômes non nuls $\rm P$ et $\rm Q$ de $\rm \mathbb K[X]$ sont associés s’il existe $\lambda \in \mathbb K^*$ tel que $\rm P=\lambda Q$.

Définition : Un polynôme dans $\rm \mathbb K[X]$ est multiple d’un polynôme $\rm Q$ dans $\rm \mathbb K[X]$ s’il existe un polynôme $\rm R$ dans $\rm \mathbb K[X]$ tel que $\rm P=QR$.

On dit que $\rm Q$ est un diviseur de $\rm P$ ou que $\rm Q$ divise $\rm P$ et on note $\rm Q|P$.

Exemple : tout polynôme constant non nul divise tous les polynômes.

Théorème : Division euclidienne

Soit $\rm A$ un polynôme de $\rm \mathbb K[X]$ et $\rm B$ un polynôme non nul de $\rm \mathbb K[X]$.

Il existe un unique couple de polynômes $\rm (Q,R)$ tel que $\rm A=BQ+R$ et $\rm \deg R< \deg B$.

$\rm Q$ est appelé le quotient et $\rm R$ le reste de la division euclidienne.

Exemple : $\rm P(X) = X^3-1$ a une racine évidente qui est $1$. Donc un théorème du cours nous dit qu'il existe un polynôme $\rm Q$ tel que $\rm P(X) = (X-1)Q(X)$.

On détermine le polynôme $\rm Q$ par division euclidienne :

Alors $\rm Q=X^2+X+1$ et $\rm R=0$.

Définitions :

Soit deux polynômes $\rm A$ et $\rm B$ de $\rm \mathbb K[X]$ dont l’un au moins est non nul.

Le PGCD de $\rm A,B$ est un diviseur commun à $\rm A$ et $\rm B$ de degré maximal.

On note $\rm A\wedge B$ le seul PGCD de $\rm A$ et $\rm B$ unitaire.

Le PPCM de $\rm A,B$ est un multiple commun à $\rm A$ et $\rm B$ de degré minimal.

On note $\rm A\vee B$ le seul PPCM de $\rm A$ et $\rm B$ unitaire.

Définition : Lorsque $\rm A\wedge B=1$, on dit que les polynômes sont premiers entre eux.

Théorème :

Les diviseurs communs à deux polynômes $\rm A$ et $\rm B$ (dont l’un est non nul) sont les diviseurs d’un PGCD.

Les multiples communs à deux polynômes $\rm A$ et $\rm B$ (dont l’un est non nul) sont les multiples d’un PPCM.

Théorème :

Les PGCD et les PPCM de deux polynômes sont des polynômes associés.

Théorème :

Soit deux polynômes $\rm A$ et $\rm B$ de $\rm \mathbb K[X]$ unitaires dont l’un est non nul :

$\rm (A\wedge B)(A\vee B)=AB$

Théorème : Egalité de Bezout

Soit deux polynômes non nuls $\rm A,B$ de $\rm \mathbb K[X]$ et $\rm P$ un PGCD de $\rm A,B$.

Alors il existe deux polynômes $\rm (U,V)$ de $\rm \mathbb K[X]$ tels que $\rm AU+BV=P$.

Définition : Soit $n\geq 1$ un nombre entier.

On dit que $n$ polynômes de $\rm \mathbb K[X]$ sont premiers entre eux (dans leur ensemble) quand leurs seuls diviseurs communs sont des polynômes constants non nuls, c’est-à-dire que leur pgcd est égal à $1$.