Probabilités sur un univers fini

Définition :

On définit $\rm P(A)$ la probabilité de l’événement $\rm A\in\Omega$ par :
$\rm P(A)=\frac{\text{nombre de cas favorables à l’événement}}{\text {nombre de cas possibles}}$

Propriétés élémentaires :

• $\rm P(\emptyset)=0$
• $\rm P(\Omega)=1$
• $\rm 0\leq P(A)\leq 1$
• $\rm P(\bar{A})=1-P(A)$ avec $\rm \bar{A}$ événement contraire de $\rm A$.
• $\rm P(A)=1$ signifie que l’évènement est toujours réalisé (évènement certain).
• $\rm P(A)=0$ signifie que l’évènement est impossible.
• $\rm P(A\text{ ou }B)=P(A\cup B)$ $\rm =P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• Si $\rm A$ et $\rm B$ sont incompatibles (ou exclusifs : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps), alors $\rm A\cap B=\emptyset$ et $\rm P(A\text{ et }B)$ $\rm =P(A\cap B)=0$.

Définition :

Soit $\rm B$ événement de $\Omega$ tel que $\rm P(B)>0$.

Pour tout $\rm A$ événement de $\Omega$, la probabilité de $\rm A$ sachant $\rm B$ (probabilité conditionnelle) est :

$\rm P_B(A)=P(A|B)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Théorème :

Soient $\rm A, B$ deux événements de $\Omega$.

$\rm P(A\cap B)=P(A|B)\times P(B)$

Théorème : Formule de Bayes

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements de probabilités non nulle :

$\rm P(A|B)=\dfrac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}$

Définition :

Deux événements $\rm A, B$ sont indépendants si $\rm P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Remarque :

• Si $\rm P(B)>0$, $\rm A$ et $\rm B$ sont indépendants si $\rm P(A|B)=P(A)$.
• Deux événements qui ne sont pas indépendants, sont dits liés.

Théorème :

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont indépendants :

• $\rm A$ et $\rm \bar{B}$ sont indépendants.
• $\rm \bar{A}$ et $\rm B$ sont indépendants.
• $\rm \bar{A}$ et $\rm \bar{B}$ sont indépendants.

Théorème : Formule des probabilités totales

Par lecture de l’arbre des probabilités, on retrouve la formule des probabilités totales :

$\rm P(B)$ $\rm =P(A)\times P(B/A)+P(\bar{A})\times P(B/\bar{A})$.

Plus généralement, si $\rm A_1,\ldots,A_n$ est un système complet d’événements (pour tous $i,j\in 1,\ldots,n$ avec $i\neq j$, $\rm A_i\cap A_j=\emptyset$ et $\bigcup_{i=1}^n\rm A_i=\Omega$), alors pour tout événenement $\rm B\in\Omega$, $\rm P(B)=\displaystyle \sum_{i=1}^n \rm P(B \cap A_i)$.