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Produits scalaires et familles orthogonales

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Méthode 1 : Étudier un produit scalaire

Définitions :

Un R-espace vectoriel E muni d’un produit scalaire s’appelle un espace préhilbertien.

Si E est de dimension finie, E est appelé espace euclidien.

On suppose dans la suite que E est un espace préhilbertien.

Définition :

Un produit scalaire φ sur E est une application de E×E dans R vérifiant :

  • Pour tout (x,y,z)E3, pour tout λR, φ(λx+y,z)=λφ(x,z)+φ(y,z) (φ est linéaire à gauche)
  • Pour tout (x,y,z)E3, pour tout λR, φ(x,λy+z)=λφ(x,y)+φ(x,z) (φ est linéaire à droite)
  • Pour tout (x,y)E2, φ(x,y)=φ(y,x) (φ est symétrique)
  • Pour tout xE, φ(x,x)0 (φ est positive)
  • Pour tout xE, φ(x,x)=0x=0E (φ est définie)

Un produit scalaire est donc une forme bilinéaire symétrique, définie positive.
Notation usuelle du produit scalaire : φ=(|)

Exemples :

  • Produit scalaire canonique sur Rn

Pour x=(x1,,xn) et y=(y1,,yn), (x|y)=nk=1xkyk

  • Sur C([a,b]), (f|g)=baf(t)g(t)dt

Méthode 2 : Étudier une norme

Définition :

Norme associée au produit scalaire $||\cdot||$ : pour tout $x\in \rm E$, $\|x\|=\sqrt{(x|x)}$.

C’est une norme car elle vérifie :

  • Pour tout $x\in \rm E$, $\|x\| \geq 0$ (avec égalité si et seulement si $x=0$)
  • Pour tout $x\in \rm E$, pour tout $\lambda \in\mathbb R$, $\|\lambda x\|=|\lambda| \times \|x\|$
  • Pour tous $x,y\in \rm E$, $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$.

Théorème : Inégalité triangulaire

Pour tous $x,y\in \rm E$, $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ avec égalité si et seulement si $x=0$ ou s’il existe $\lambda \in\mathbb R^+$ tel que $y=\lambda x$ ($x$ et $y$ sont dits positivement liés).

Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tout $(x,y)\in \rm E^2$, $|(x|y)|\leq ||x|| \times ||y||$

Il y a égalité si et seulement si $(x,y)$ est liée.

Méthode 3 : Étudier des vecteurs orthogonaux

Définition : Soit $(x,y)\in \rm E^2$,

Les vecteurs $x$ et $y$ sont orthogonaux si $(x|y)=0$. On note $x \bot y$.

Théorème de Pythagore :

Soit $(x,y)\in \rm E^2$ :

  • $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2+2(x|y)$
  • $x$ et $y$ sont orthogonaux si et seulement si $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$

Définition :

Soit $(x_{\rm i})_{\rm i}$ une famille d’éléments de $\rm E$.

  • $(x_{\rm i})_{\rm i}$ est une famille orthogonale de $\rm E$ si les éléments de la famille sont deux à deux orthogonaux
  • $(x_{\rm i})_{\rm i}$ est une famille orthonormale ou orthonormée de $\rm E$ si les éléments de la famille sont unitaires ou normés $(||x_{\rm i}||=1)$ et deux à deux orthogonaux.

Propriété : Toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.

Propriété : Si $(x_1,\ldots,x_{\rm n})$ est une famille orthogonale, on a la relation de Pythagore : $\left\|\displaystyle\mathrm{\sum_{k=1}^n} x_{\rm k}\right\|^2=\displaystyle\mathrm{\sum_{k=1}^n}\left\|x_{\rm k}\right\|^2$.

Procédé d’orthonormalisation : Si $(x_1,\ldots,x_{\rm n})$ est une famille libre de $\rm E$, il existe une unique famille orthonormale $\rm (e_1 ,\ldots,e_n)$ vérifiant :

  • Pour tout $\rm k=1,\ldots,n$, $\rm Vect(e_1,\ldots,e_n)$ $=\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_{\rm n})$
  • Pour tout $\rm k=1,\ldots,n$, $(\mathrm{e_k}|x_{\rm k})>0$

Le passage de $(x_1,\ldots,x_{\rm n})$ à $\rm (e_1,\ldots,e_n)$ s’appelle le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.

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