Définitions :
Un $\mathbb R$-espace vectoriel $\rm E$ muni d’un produit scalaire s’appelle un espace préhilbertien.
Si $\rm E$ est de dimension finie, $\rm E$ est appelé espace euclidien.
On suppose dans la suite que $\rm E$ est un espace préhilbertien.
Définition :
Un produit scalaire $\varphi$ sur $\rm E$ est une application de $\rm E\times E$ dans $\mathbb R$ vérifiant :
- Pour tout $(x,y,z)\in\rm E^3$, pour tout $\lambda\in\mathbb R$, $\varphi(\lambda x+y,z)=\lambda \varphi(x,z)+\varphi(y,z)$ ($\varphi$ est linéaire à gauche)
- Pour tout $(x,y,z)\in\rm E^3$, pour tout $\lambda\in\mathbb R$, $\varphi(x,\lambda y+z)= \lambda \varphi(x,y)+ \varphi(x,z)$ ($\varphi$ est linéaire à droite)
- Pour tout $(x,y)\in\rm E^2$, $\varphi(x,y)=\varphi(y,x)$ ($\varphi$ est symétrique)
- Pour tout $x\in \rm E$, $\varphi(x,x)\geq 0$ ($\varphi$ est positive)
- Pour tout $x\in \rm E$, $\varphi(x,x)= 0 \Rightarrow x=\rm 0_E$ ($\varphi$ est définie)
Un produit scalaire est donc une forme bilinéaire symétrique, définie positive.
Notation usuelle du produit scalaire : $\varphi=(\cdot|\cdot)$
Exemples :
- Produit scalaire canonique sur $\rm \mathbb R^n$
Pour $x=(x_1,\ldots,x_{\rm n})$ et $y=(y_1,\ldots,y_{\rm n})$, $(x|y)=\displaystyle\mathrm{\sum_{k=1}^n} x_{\rm k}y_{\rm k}$
- Sur $\rm C([a,b])$, $(f|g)=\displaystyle\int_{\rm a}^{\rm b} f(\mathrm t)g\rm (t)dt$