Définitions :
Un R-espace vectoriel E muni d’un produit scalaire s’appelle un espace préhilbertien.
Si E est de dimension finie, E est appelé espace euclidien.
On suppose dans la suite que E est un espace préhilbertien.
Définition :
Un produit scalaire φ sur E est une application de E×E dans R vérifiant :
- Pour tout (x,y,z)∈E3, pour tout λ∈R, φ(λx+y,z)=λφ(x,z)+φ(y,z) (φ est linéaire à gauche)
- Pour tout (x,y,z)∈E3, pour tout λ∈R, φ(x,λy+z)=λφ(x,y)+φ(x,z) (φ est linéaire à droite)
- Pour tout (x,y)∈E2, φ(x,y)=φ(y,x) (φ est symétrique)
- Pour tout x∈E, φ(x,x)≥0 (φ est positive)
- Pour tout x∈E, φ(x,x)=0⇒x=0E (φ est définie)
Un produit scalaire est donc une forme bilinéaire symétrique, définie positive.
Notation usuelle du produit scalaire : φ=(⋅|⋅)
Exemples :
- Produit scalaire canonique sur Rn
Pour x=(x1,…,xn) et y=(y1,…,yn), (x|y)=n∑k=1xkyk
- Sur C([a,b]), (f|g)=∫baf(t)g(t)dt