Séries

1. Définition

Définition :

Une série $\displaystyle \sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $(\mathrm S_n)_{n\in\mathbb N}$ avec $\mathrm S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k$ converge.

On note $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k$.

Théorème :

Si la série $\displaystyle \sum u_n$ converge, alors la suite $(u_n)_n$ tend vers $0$.
Remarque : Si $(u_n)_n$ ne tend pas vers $0$, on dit que la série $\displaystyle \sum u_n$ diverge grossièrement.

2. Utiliser le lien suite et série

Théorème :

La suite $(u_\rm n)$ et la série $\displaystyle\sum (u_{\mathrm n+1}-u_\mathrm n)$ sont de même nature.

3. Opérations

Théorème :

Soient $\displaystyle\sum u_n$ et $\displaystyle\sum v_n$ deux séries convergentes et $\lambda \in \mathbb K$.

Alors $\displaystyle\sum \lambda u_n$ et $\displaystyle\sum u_n+v_n$ sont des séries convergentes.

Théorème :

Soient $\displaystyle\sum u_n$ et $\displaystyle\sum v_n$ deux séries à termes positifs telles que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n \leq v_n$.

1. Si $\displaystyle\sum v_n$ converge, alors $\displaystyle\sum u_n$ converge.
2. Si $\displaystyle\sum u_n$ diverge, alors $\displaystyle\sum v_n$ diverge.

Théorème :

Soient $\displaystyle\sum u_\rm n$ et $\displaystyle\sum v_\rm n$ deux séries à termes positifs.

Si $\displaystyle u_\mathrm n \sim v_\mathrm n$, alors les séries $\displaystyle\sum u_\rm n$ et $\displaystyle\sum v_\rm n$ ont la même nature.

Définition :

Soit $(u_n)$ une suite réelle ou complexe.

$\displaystyle\sum u_n$ converge absolument si $\displaystyle\sum |u_n|$ converge.

Théorème :

Si $\displaystyle\sum u_n$ converge absolument, alors la série converge.

Théorème (séries géométriques) :

Soit $q\in\mathbb C$.

1. Si $|q|\geq 1$, alors $\displaystyle\sum q^n$ diverge grossièrement.
2. Si $|q|<1$, alors $\displaystyle\sum q^n$ converge absolument et $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$

Théorème (série exponentielle) :

Pour tout réel $x$, la série $\displaystyle\sum\frac{x^n}{n !}$ converge et

$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n !}=e^x$

Théorème (Séries de Riemann) :

$\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

Définition :

Une série $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ est alternée si pour tout $\mathrm{n\in\mathbb N}$, $u_{\rm n}=(-1)^n$ $|u_{\rm n}|$ ou $u_{\rm n}=(-1)^{\rm n+1}$ $|u_{\rm n}|$.

Théorème (critère spécial des séries alternées) :

Soit $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ une série alternée.
Si $\left(|u_{\rm n}|\right)_{n\geq 0}$ est une série décroissante tendant vers $0$, alors $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ converge.
De plus, le reste $\mathrm{R_n} =\displaystyle \sum_{\mathrm{k=n+1}}^{+\infty} u_{\rm k}$ est du signe de $u_{\rm n+1}$ et $\mathrm{|R_n|}\leq |u_{\rm n+1}|$.